《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

7. (潍坊中考)如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是 (C)

A. $\sqrt{3}$ cm^2
B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm^2
C. $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm^2
D. $\frac{27\sqrt{3}}{2}$ cm^2

答案： C

8. (淮安中考)如图①,△ABC和△A'B'C'是两个边长不相等的等边三角形,点B',C',B,C都在直线l上,△ABC固定不动,将△A'B'C'在直线l上自左向右平移.开始时,点C'与点B重合,当点B'移动到与点C重合时停止.设△A'B'C'移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,y与x之间的函数关系如图②所示,则△ABC的边长是______5.

答案： 5

9. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°,AB = AC = 2$\sqrt{2}$,AD为BC边上的高,动点P在AD上(不与点A,D重合),从点A出发,沿A→D方向运动,设AP = x,△ABP的面积为S_1,矩形PDFE的面积为S_2,y = S_1 + S_2,则y与x的解析式是y = -x² + 3x(0 ＜ x ＜ 2).

答案： y = -x² + 3x(0 ＜ x ＜ 2) 解析：
∵在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2√2，AD为BC边上的高，AP = x，
∴∠BAD = ∠CAD = 45°，BC = 4，AD = BD = 2，
∴AP = PE = x，PD = AD - AP = 2 - x，
∴y = S₁ + S₂ = x + (2 - x)·x = -x² + 3x(0 ＜ x ＜ 2)。

10. (2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB // DE,AB与DE之间的距离为2米,AB = 3米,AF = BC = 1米,∠A = ∠B = 90°,∠C = ∠F = 135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少?

答案：
如图，连接CF，交MH于点Q，交NG于点P。
∵AF = BC = 1米，∠A = ∠B = 90°，
∴四边形ABCF是矩形。

∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN = ∠MNG = 90°，MH = NG，
∴∠HQF = ∠GPC = 90°，MQ = AF = NP = BC = 1米。
∵∠BCG = ∠AFH = 135°，
∴∠HFQ = ∠GCP = 45°，
∴FQ = HQ，CP = GP，
∴FQ = HQ = MH - MQ = MH - 1。同理得CP = MH - 1，
∴AM = NB = MH - 1，
∴MN = AB - AM - NB = 3 - (MH - 1) - (MH - 1) = 5 - 2MH，
∴S矩形MNGH = MN·MH = (5 - 2MH)·MH = 5MH - 2MH² = -2(MH² - $\frac{5}{2}$MH) = -2(MH - $\frac{5}{4}$)² + $\frac{25}{8}$，
∴当MH = $\frac{5}{4}$米时，铁皮MNGH的面积最大，最大面积为$\frac{25}{8}$平方米。

11. 教材P57复习题T7变式 (福建中考)空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.
(1)已知a = 20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图①,求所利用旧墙AD的长;
(2)已知0 ＜ a ＜ 50,且空地足够大,如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.

答案：

(1) 设AD = x米，则AB = $\frac{100 - x}{2}$米，依题意，得$\frac{x(100 - x)}{2} = 450$，解得x₁ = 10，x₂ = 90。
∵a = 20，且x ≤ a，
∴x = 90不合题意，应舍去，
∴利用旧墙AD的长为10米。
(2) 设AD = x米，矩形ABCD的面积为S平方米。
① 如果按图①方案围成矩形菜园，依题意，得S = $\frac{x(100 - x)}{2} = -\frac{1}{2}(x - 50)^{2} + 1250$，0 ＜ x ＜ a。
∵0 ＜ a ＜ 50，
∴当x ＜ a ＜ 50时，S随x的增大而增大，当x = a时，S最大 = 50a - $\frac{1}{2}$a²。

② 如果按图②方案围成矩形菜园，依题意，得S = $\frac{x(100 + a - 2x)}{2} = -[x - (25 + \frac{a}{4})]^{2} + (25 + \frac{a}{4})^{2}$，a ≤ x ＜ 50 + $\frac{a}{2}$，当a ＜ 25 + $\frac{a}{4}$ ＜ 50 + $\frac{a}{2}$，即0 ＜ a ＜ $\frac{100}{3}$时，则x = 25 + $\frac{a}{4}$时，S最大 = (25 + $\frac{a}{4}$)² = $\frac{10000 + 200a + a²}{16}$，当25 + $\frac{a}{4}$ ≤ a ＜ 50，即$\frac{100}{3}$ ≤ a ＜ 50时，S随x的增大而减小，
∴当x = a时，S最大 = $\frac{a(100 + a - 2a)}{2} = 50a - \frac{1}{2}a^{2}$。
综合①②，当0 ＜ a ＜ $\frac{100}{3}$时，$\frac{10000 + 200a + a^{2}}{16} - (50a - \frac{1}{2}a^{2}) = \frac{(3a - 100)^{2}}{16} ＞ 0$，即$\frac{10000 + 200a + a^{2}}{16} ＞ 50a - \frac{1}{2}a^{2}$，此时，按图②方案围成的矩形菜园面积最大，最大面积为$\frac{10000 + 200a + a^{2}}{16}$平方米。当$\frac{100}{3}$ ≤ a ＜ 50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等。
∴当0 ＜ a ＜ $\frac{100}{3}$时，围成长和宽均为(25 + $\frac{a}{4}$)米的矩形菜园时面积最大，最大面积为$\frac{10000 + 200a + a^{2}}{16}$平方米；当$\frac{100}{3}$ ≤ a ＜ 50时，围成长为a米，宽为(50 - $\frac{a}{2}$)米的矩形菜园时面积最大，最大面积为(50a - $\frac{1}{2}a^{2}$)平方米。