《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

12.(2023·乐山中考)若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0的两根为x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为(C)
A.4
B.8
C.12
D.16

答案： C

13.(荆门中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}= 0(m＞0)$的一个根比另一个根大2,则m的值为____1____.

答案： 1

14.(1)已知$a≥2,m^{2}-2am+2= 0,n^{2}-2an+2= 0,m≠n$,则$(m-1)^{2}+(n-1)^{2}$的最小值为6.
(2)已知实数p,q满足$p^{2}= 3p+2,2q^{2}= 3q+1$,求$\frac{p^{2}+4q^{2}}{2pq}$的值为2或$-\frac{13}{2}$.

答案：
(1)6
(2)2或$-\frac{13}{2}$

15.若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+6-b= 0有两个相等的实数根x_{1}= x_{2}= k$,则直线$y= kx+b$必定经过的象限是(B)
A.一、二、三
B.一、二、四
C.二、三、四
D.一、三、四

答案： B

16.(南京中考)关于x的方程$(x-1)\cdot (x+2)= p^{2}$(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是(C)
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根,一个负根
D.无实数根

答案： C

17.(1)(内江中考)已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2x+k-1= 0$的两实数根,且$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}= x_{1}^{2}+2x_{2}-1$,则k的值为____2.
(2)已知m,n是关于x的一元二次方程$x^{2}-2tx+t^{2}-2t+4= 0$的两实数根,则$(m+2)(n+2)$的最小值是____16.

答案：
(1)2
(2)16 解析:
∵$m$，$n$是方程$x^{2}-2tx + t^{2}-2t + 4 = 0$的两实数根，
∴$\Delta = (-2t)^{2}-4(t^{2}-2t + 4)=8t - 16\geq0$，即$t\geq2$，$m + n = 2t$，$mn = t^{2}-2t + 4$，
∴$(m + 2)(n + 2)=mn + 2(m + n)+4 = t^{2}+2t + 8=(t + 1)^{2}+7$，
∵$t\geq2$，
∴$(t + 1)^{2}+7\geq(2 + 1)^{2}+7 = 16$.

18.(自主招生)设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程$x^{2}-6x+a= 0$的两根,当这样的三角形只有一个时,a的取值范围是____$0\lt a\leq8$或$a = 9$.

答案： $0\lt a\leq8$或$a = 9$ 解析:
∵$x^{2}-6x + a = 0$有实数根，
∴$\Delta = 36 - 4a\geq0$. ①当$\Delta = 0$时，$a = 9$，此时三角形为等边三角形，符合题意. ②当$\Delta\gt0$时，$a\lt9$，由边长不能为负数可得$x_{1}\cdot x_{2}=a\gt0$，
∴$0\lt a\lt9$. 设两根分别为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\lt x_{2})$，若要等腰三角形只有一个，需要较小的根$x_{1}$为底边，较大的根$x_{2}$为腰，且$x_{2}$不能为底边，$x_{1}$不能为腰，根据三边关系得$2x_{1}\leq x_{2}$.
∵$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}\cdot x_{2}=a$，
∴$2x_{1}+x_{1}\leq x_{1}+x_{2}=6$，
∴$x_{1}\leq2$，
∴$a = x_{1}\cdot(6 - x_{1})=-(3 - x_{1})^{2}+9\leq8$，
∴$0\lt a\leq8$. 综上，当$0\lt a\leq8$或$a = 9$时，三角形只有一个.

19.(荆门中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1= 0有x_{1},x_{2}$两实数根.
(1)若$x_{1}= 1$,求$x_{2}$及m的值.5，3
(2)是否存在实数m,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m-5}$?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.存在，m=2

答案：
(1)由题意得，$b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4(2m - 1)\geq0$，解得$m\leq5$. $x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=2m - 1$.
∵$x_{1}=1$，
∴$1 + x_{2}=6$，$x_{2}=2m - 1$，
∴$x_{2}=5$，$m = 3$.
(2)存在.
∵$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m - 5}$，
∴$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m - 5}$，即$2m - 1 - 6 + 1=\frac{6}{m - 5}$. 整理得$m^{2}-8m + 12 = 0$，解得$m_{1}=2$，$m_{2}=6$，经检验，$m_{1}=2$，$m_{2}=6$为原方程的解.
∵$m\leq5$且$m\neq5$，
∴$m = 2$.

20.已知实数a,b满足$a^{2}(b^{2}+1)+b(b+2a)= 40,a(b+1)+b= 8$.
(1)求$a+b$和ab的值;$a+b=$6，$ab=$2
(2)求$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$的值.8

答案：
(1)$a^{2}(b^{2}+1)+b(b + 2a)=40$，$a(b + 1)+b = 8$，分别整理得$(a + b)^{2}+a^{2}b^{2}=40$，$ab + a + b = 8$，令$a + b = m$，$ab = n$，
∴$m^{2}+n^{2}=40$，$m + n = 8$，
∴$m^{2}+(8 - m)^{2}=40$，解得$m = 2$或$m = 6$. 当$m = 2$时，$n = 6$；当$m = 6$时，$n = 2$.
∴$a + b = 2$，$ab = 6$或$a + b = 6$，$ab = 2$. 设$a$，$b$是方程$x^{2}-mx + n = 0$的两个实数根，
∴$\Delta = m^{2}-4n$，当$m = 2$，$n = 6$时，$\Delta = 4 - 24=-20\lt0$；当$m = 6$，$n = 2$时，$\Delta = 36 - 8 = 28\gt0$，
∴$a + b = 6$，$ab = 2$.
(2)原式$=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{(a + b)^{2}-2ab}{a^{2}b^{2}}$，当$a + b = 6$，$ab = 2$时，原式$=8$.