《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

8. 原创题 已知一条抛物线经过$A(0,10)$,$B(m+2,n)$,$C(4-m,n)$,$D(3,1)$四点,则抛物线的解析式为 (C)
A. $y= x^{2}+6x+10$
B. $y= x^{2}+3x+10$
C. $y= x^{2}-6x+10$
D. $y= x^{2}-3x+10$

答案： C

9. (2024·上海月考)在平面直角坐标系中,对于两条具有相同对称轴的抛物线$y= a_{1}(x-m)^{2}+n_{1}与y= a_{2}(x-m)^{2}+n_{2}在y轴上交于同一个点(0,t)$,其中$a_{1}＞0$,$a_{2}＜0$,并且$n_{2}-t= 2(t-n_{1})\neq0$,那么两条抛物线围成的图形很像一颗鸡蛋,我们称这两条抛物线互为“半壳线”.那么抛物线$y= x^{2}-2x+4$的“半壳线”解析式是____y = - 2x² + 4x + 4.

答案： y = - 2x² + 4x + 4 解析：由题意得，抛物线y = x² - 2x + 4 = (x - 1)² + 3，且与y轴交于点(0,4)，那么m = 1，n₁ = 3，t = 4。
∵n₂ - 4 = 2×(4 - 3)，
∴n₂ = 6，由抛物线y = x² - 2x + 4的“半壳线”解析式是y = a₂(x - 1)² + 6 = a₂x² - 2a₂x + 6 + a₂且与y轴交于点(0,4)，则6 + a₂ = 4，解得a₂ = - 2，那么抛物线y = x² - 2x + 4的“半壳线”解析式是y = - 2x² + 4x + 4。

10. (常德中考)如图,已知抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为$x= 2$,点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
(1) 求此抛物线的解析式;
(2) 当$\triangle OAB的面积为15$时,求$B$的坐标;
(3) 在(2)的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$的值最大时,求$P的坐标以及PA-PB$的最大值.

答案：

(1)
∵抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x = 2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0)。设抛物线解析式为y = ax(x - 4)，把A(5,5)代入，得5a = 5，解得a = 1，
∴y = x(x - 4) = x² - 4x，故此抛物线的解析式为y = x² - 4x。
(2)
∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B(2,m)(m＞0)，设直线OA的解析式为y = kx，则5k = 5，解得k = 1，
∴直线OA的解析式为y = x。如图①，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2,2)，
∴BH = |m - 2|。
∵S△OAB = 15，
∴$\frac{1}{2}$×|m - 2|×5 = 15，解得m = 8(负值舍去)，
∴点B的坐标为(2,8)。
(3)设直线AB的解析式为y = cx + d，把A(5,5)，B(2,8)代入得$\begin{cases}5c + d = 5\\2c + d = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = - 1\\d = 10\end{cases}$，
∴直线AB的解析式为y = - x + 10，当PA - PB的值最大时，A，B，P在同一条直线上，如图②。
∵P是抛物线上的动点，
∴$\begin{cases}y = - x + 10\\y = x² - 4x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x₁ = - 2\\y₁ = 12\end{cases}$，$\begin{cases}x₂ = 5\\y₂ = 5\end{cases}$(舍去)，
∴P(- 2,12)，此时，PA - PB = AB = $\sqrt{(5 - 2)² + (5 - 8)²}$ = 3$\sqrt{2}$。

11. (广西中考)如图,已知点$A(3,0)$,$B(1,0)$,两点$C(-3,9)$,$D(2,4)在抛物线y= x^{2}$上,向左或向右平移抛物线后,$C$,$D的对应点分别为C'$,$D'$.当四边形$ABC'D'$的周长最小时,抛物线的解析式为____.

答案：
y = (x - $\frac{25}{13}$)² 解析：过点C，D作x轴的平行线，作点A关于直线y = 4的对称点A'，过点A'作A'E//CD，且A'E = CD，连接BE交直线y = 9于点C'，过点C'作C'D'//CD，交直线y = 4于点D'，连接CE，A'D，如图，可知四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形。
∵A'E//CD，C'D'//CD，且A'E = CD，C'D' = CD，
∴C'D'//A'E且C'D' = A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D' = EC'。
∵点A关于直线y = 4的对称点为A'，
∴AD' = A'D'，
∴EC' = AD'，
∴BE = BC' + EC' = BC' + AD'，即此时BC' + AD'转化到一条直线上，BC' + AD'最小，最小值为BE的长度，而AB，CD为定值，
∴此时四边形ABC'D'的周长最小。
∵A(3,0)关于直线y = 4的对称点为A'，
∴A'(3,8)。
∵四边形A'ECD是平行四边形，C(- 3,9)，D(2,4)，
∴E(- 2,13)。设直线BE的解析式为y = kx + b，则$\begin{cases}0 = k + b\\13 = - 2k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - \frac{13}{3}\\b = \frac{13}{3}\end{cases}$，
∴直线BE的解析式为y = - $\frac{13}{3}$x + $\frac{13}{3}$。令y = 9得9 = - $\frac{13}{3}$x + $\frac{13}{3}$，
∴x = - $\frac{14}{13}$，
∴C'(- $\frac{14}{13}$,9)，
∴CC' = - $\frac{14}{13}$ - (- 3) = $\frac{25}{13}$，即将抛物线y = x²向右平移$\frac{25}{13}$个单位长度后，四边形ABC'D'的周长最小，
∴此时抛物线为y = (x - $\frac{25}{13}$)²。

12. (2024·宿迁中考)如图①,已知抛物线$y_{1}= x^{2}+bx+c与x轴交于两点O(0,0)$,$A(2,0)$,将抛物线$y_{1}$向右平移2个单位长度,得到抛物线$y_{2}$,点$P是抛物线y_{1}$在第四象限内一点,连接$PA$并延长,交抛物线$y_{2}于点Q$.
(1) 求抛物线$y_{2}$的解析式;$y₂ = x² - 6x + 8$
(2) 设点$P的横坐标为x_{P}$,点$Q的横坐标为x_{Q}$,求$x_{Q}-x_{P}$的值;4
(3) 如图②,若抛物线$y_{3}= x^{2}-8x+t与抛物线y_{1}= x^{2}+bx+c交于点C$,过点$C作直线MN$,分别交抛物线$y_{1}和y_{3}于点M$,$N$($M$,$N均不与点C$重合),设点$M的横坐标为m$,点$N的横坐标为n$,试判断$|m-n|$是否为定值.若是,直接写出这个定值;若不是,请说明理由.是，6

答案：
(1)
∵抛物线y₁ = x² + bx + c与x轴交于两点O(0,0)，A(2,0)，
∴$\begin{cases}c = 0\\4 + 2b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2\\c = 0\end{cases}$，
∴y₁ = x² - 2x = (x - 1)² - 1。
∵抛物线y₁向右平移2个单位长度，得到抛物线y₂，
∴y₂ = (x - 1 - 2)² - 1 = (x - 3)² - 1 = x² - 6x + 8，即y₂ = x² - 6x + 8。
(2)设点P的坐标为(m,m² - 2m)，设直线AP的解析式为y = kx + t，把点A和点P的坐标代入得$\begin{cases}2k + t = 0\\km + t = m² - 2m\end{cases}$，解得$\begin{cases}t = - 2m\\k = m\end{cases}$，
∴直线AP的解析式为y = mx - 2m，联立y = mx - 2m与y₂ = x² - 6x + 8，得到x² - 6x + 8 = mx - 2m，解得x_Q = 4 + m，则x_Q - x_P = 4 + m - m = 4。
(3)|m - n|是定值，|m - n| = 6，理由如下：由
(1)可得y₁ = x² - 2x，与y₃ = x² - 8x + t联立，得到x² - 2x = x² - 8x + t，解得x = $\frac{1}{6}$t，此时y = ($\frac{1}{6}$t)² - 2×$\frac{1}{6}$t = $\frac{1}{36}$t² - $\frac{1}{3}$t，
∴点C的坐标为($\frac{1}{6}$t,$\frac{1}{36}$t² - $\frac{1}{3}$t)。
∵点M的横坐标为m，且在y₁ = x² - 2x上，
∴y = m² - 2m，即点M的坐标为(m,m² - 2m)，设直线CM的解析式为y = rx + s，把点C和点M的坐标代入得$\begin{cases}m² - 2m = mr + s\\\frac{1}{36}t² - \frac{1}{3}t = \frac{1}{6}tr + s\end{cases}$，解得$\begin{cases}r = m + \frac{1}{6}t - 2\\s = - \frac{1}{6}tm\end{cases}$，
∴直线CM的解析式为y = (m + $\frac{1}{6}$t - 2)x - $\frac{1}{6}$tm，与y₃ = x² - 8x + t联立，得到(m + $\frac{1}{6}$t - 2)x - $\frac{1}{6}$tm = x² - 8x + t，整理得到x² - (m + $\frac{1}{6}$t + 6)x + (1 + $\frac{1}{6}$m)t = 0，则x_C + x_N = m + $\frac{1}{6}$t + 6，即$\frac{1}{6}$t + n = m + $\frac{1}{6}$t + 6，即n - m = 6，即|m - n| = 6为定值。