《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

12. 如图,直线$y = - x - 2交x轴于点A$,交$y轴于点B$,抛物线$y = a(x - h)^2的顶点为A$,且经过点$B$。
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)若点$C(m,- \frac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$PO + PB$的值最小,求出点$P$的坐标。
(1)该抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2$（或$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2$）；
(2)$m$的值为$1$或$-5$；
(3)点$P$的坐标为$(-2, -1)$。

答案：
(1)由直线$y = -x - 2$，令$x = 0$，则$y = -2$，
∴点$B$的坐标为$(0, -2)$。令$y = 0$，则$x = -2$，
∴点$A$的坐标为$(-2, 0)$。
∵抛物线的顶点为$A$，且经过点$B$，
∴设$y = a(x + 2)^2$，
∴$-2 = 4a$，解得$a = -\frac{1}{2}$，
∴抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2$，即$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2$。
(2)
∵点$C(m, -\frac{9}{2})$在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2$上，
∴$-\frac{1}{2}m^2 - 2m - 2 = -\frac{9}{2}$，
∴$m^2 + 4m - 5 = 0$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = -5$。
(3)设点$B$关于对称轴的对称点为$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为点$P$。
∵点$B$的坐标为$(0, -2)$，对称轴是直线$x = -2$，
∴$B'(-4, -2)$，则直线$OB'$的解析式为$y = \frac{1}{2}x$，联立方程组，得$\begin{cases}x = -2,\\y = \frac{1}{2}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -2,\\y = -1,\end{cases}$故$P(-2, -1)$。

13. 如图,将抛物线$y = x^2向右平移a$个单位长度,顶点为$A$,与$y轴交于点B$,且$\triangle AOB$为等腰直角三角形。
(1)求$a$的值。
(2)在图中的抛物线上是否存在点$C$,使$\triangle ABC$为等腰直角三角形？若存在,求点$C的坐标及S_{\triangle ABC}$；若不存在,请说明理由。

答案：

(1)平移后的抛物线的解析式为$y = (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$，令$y = x^2 - 2ax + a^2$中的$x = 0$，则$y = a^2$，
∴$B(0, a^2)$。
∵$\triangle AOB$为等腰直角三角形，
∴$a = a^2$，解得$a = 1$或$a = 0$（舍去）。故$a$的值为1。
(2)存在，点$C(2, 1)$，$S_{\triangle ABC} = 1$。作点$B$关于抛物线的对称轴对称的点$C$，连接$AC$，$BC$，$BC$交抛物线的对称轴于点$D$，如图所示。
∵$\triangle AOB$为等腰直角三角形，
∴$\triangle ABD$为等腰直角三角形，
∴$\angle BAD = 45^{\circ}$。
∵$AD$为抛物线的对称轴，
∴$AB = AC$，$\angle CAD = \angle BAD = 45^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形。
∵点$B(0, 1)$，抛物线的对称轴为直线$x = 1$，
∴点$C$的坐标为$(2, 1)$，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1$，故在图中的抛物线上存在点$C$，使$\triangle ABC$为等腰直角三角形，点$C$的坐标为$(2, 1)$，且$S_{\triangle ABC} = 1$。
知识拓展
二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0)$的图象与$x$轴分别交于$A$，$B$两点，抛物线顶点为$C$，则$\triangle ABC$为等腰三角形。特别地，当$b^2 - 4ac = 4$时，$\triangle ABC$是等腰直角三角形；当$b^2 - 4ac = 12$时，$\triangle ABC$是等边三角形。

14. 如图,坐标平面上有一顶点为$A$的抛物线,此抛物线与直线$y = 2交于B$,$C$两点,$\triangle ABC$为等边三角形。若$A点坐标为(- 3,0)$,则此抛物线与$y$轴的交点坐标是______$(0, \frac{27}{2})$。

答案： $(0, \frac{27}{2})$

15. 原创题 已知抛物线$C_0的解析式为y = (x + 1)^2$,将抛物线$C_0$每次向右平移2个单位长度,平移$n$次,依次得到抛物线$C_1$,$C_2$,$C_3$,…,$C_n$($n$为正整数),则抛物线$C_n$的解析式为______$y = (x - 2n + 1)^2$（或$y = x^2 - (4n - 2)x + 4n^2 - 4n + 1$）。

答案： $y = (x - 2n + 1)^2$（或$y = x^2 - (4n - 2)x + 4n^2 - 4n + 1$） 解析：由于点$(-1, 0)$向右平移$2n$个单位得到$C_n$的顶点坐标为$(2n - 1, 0)$，则抛物线$C_n$的解析式为$y = [x - (2n - 1)]^2 = (x - 2n + 1)^2 = x^2 - (4n - 2)x + 4n^2 - 4n + 1$。

16. 如图,已知二次函数$y = (x + 2)^2$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B。
(1)求点A、点B的坐标。
A(-2, 0),B(0, 4)
(2)过点B平行于x轴的直线交抛物线于点C,求四边形OACB的面积。四边形OACB的面积为12(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由。存在，点P的坐标为(2, 0)或(-6, 0)或(-2, 8)

答案：
(1)
∵二次函数$y = (x + 2)^2$的图象与$x$轴交于点$A$，令$y = 0$，
∴$(x + 2)^2 = 0$，
∴$x = -2$，
∴$A(-2, 0)$。
∵二次函数$y = (x + 2)^2$的图象与$y$轴交于点$B$，令$x = 0$，
∴$y = 4$，
∴$B(0, 4)$。
(2)
∵过点$B$平行于$x$轴的直线交抛物线于点$C$，令$y = 4$，
∴$4 = (x + 2)^2$，
∴$x_1 = 0$，$x_2 = -4$，
∴$C(-4, 4)$，
∴$BC = 4$，$OB = 4$，$OA = 2$，
∴$S_{四边形OACB} = \frac{1}{2}(OA + BC) \times OB = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$。
(3)存在。点$P$的坐标为$(2, 0)$或$(-6, 0)$或$(-2, 8)$。
解析：①当$BC$为边时，有$BC = AP = 4$，且点$P$必在$x$轴上，设$P(m, 0)$，
∴$AP = |m + 2|$，
∴$|m + 2| = 4$，
∴$m_1 = 2$，$m_2 = -6$，
∴$P_1(2, 0)$，$P_2(-6, 0)$。
②当$BC$为对角线时，对角线$PA$和$BC$互相平分，设$P(x, y)$，根据中点坐标公式得$-2 + x = -2 \times 2$，$0 + y = 4 \times 2$，
∴$x = -2$，$y = 8$，
∴$P_3(-2, 8)$。即满足条件的$P$点有三个，$P_1(2, 0)$，$P_2(-6, 0)$，$P_3(-2, 8)$。