《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

10. (青岛中考)科研人员为了研究弹射器的某项性能,利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升,此时,在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力),在1秒时,它们距离地面都是35米,在6秒时,它们距离地面的高度也相同.其中无人机离地面高度$y_{1}$(米)与小钢球运动时间x(秒)之间的函数关系如图所示.小钢球离地面高度$y_{2}$(米)与它的运动时间x(秒)之间的函数关系如图中抛物线所示.
(1)直接写出$y_{1}$与x之间的函数解析式.
(2)求出$y_{2}$与x之间的函数解析式.
(3)小钢球弹射1秒后直至落地时,小钢球和无人机的高度差最大是多少米?
(1) $y_1$ 与 $x$ 之间的函数解析式为$y_1 = 5x + 30$
(2) $y_2$ 与 $x$ 的函数解析式为$y_2 = -5x^2 + 40x$
(3) 小钢球弹射1秒后直至落地时,小钢球和无人机的高度差最大是70米.

答案：
(1) $y_1$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_1 = 5x + 30$ 解析：设 $y_1$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_1 = kx + b$，$\because$ 函数图象过点 $(0, 30)$ 和 $(1, 35)$，$\therefore \begin{cases}k + b = 35, \\ b = 30,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 5, \\ b = 30,\end{cases}$ $\therefore y_1$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y_1 = 5x + 30$。
(2) $\because x = 6$ 时，$y_1 = 5 \times 6 + 30 = 60$。又 $\because y_2$ 的图象是过原点的抛物线，$\therefore$ 设 $y_2 = ax^2 + bx$。$\because$ 点 $(1, 35)$，$(6, 60)$ 在抛物线 $y_2 = ax^2 + bx$ 上，$\therefore \begin{cases}a + b = 35, \\ 36a + 6b = 60,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -5, \\ b = 40,\end{cases}$ $\therefore y_2 = -5x^2 + 40x$。$\therefore y_2$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y_2 = -5x^2 + 40x$。
(3) 设小钢球和无人机的高度差为 $y$ 米，由 $-5x^2 + 40x = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 8$。
① 当 $1 ＜ x \leq 6$ 时，$y = y_2 - y_1 = -5x^2 + 40x - 5x - 30 = -5x^2 + 35x - 30 = -5(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{125}{4}$。$\because a = -5 ＜ 0$，$\therefore$ 抛物线开口向下。又 $\because 1 ＜ x \leq 6$，$\therefore$ 当 $x = \frac{7}{2}$ 时，$y$ 的最大值为 $\frac{125}{4}$；
② 当 $6 ＜ x \leq 8$ 时，$y = y_1 - y_2 = 5x + 30 + 5x^2 - 40x = 5x^2 - 35x + 30 = 5(x - \frac{7}{2})^2 - \frac{125}{4}$，$\because a = 5 ＞ 0$，$\therefore$ 抛物线开口向上。又 $\because$ 对称轴是直线 $x = \frac{7}{2}$，$\therefore$ 当 $x ＞ \frac{7}{2}$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。$\because 6 ＜ x \leq 8$，$\therefore$ 当 $x = 8$ 时，$y$ 的最大值为 $70$。$\because \frac{125}{4} ＜ 70$，$\therefore$ 高度差的最大值为 $70$ 米。

11. (台州中考)如图①,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图②,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度$DE = 3m$,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).
(1)若$h = 1.5$,$EF = 0.5m$.
①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
上边缘抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2$，喷出水的最大射程OC为6m.
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
点B的坐标为(2, 0).
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围.
d的取值范围是$2 \leq d \leq 2\sqrt{3} - 1$.
(2)若$EF = 1m$,要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.
h的最小值为$\frac{65}{32}$.

答案：
(1) ① 由题意得 $A(2, 2)$ 是上边缘抛物线的顶点，设 $y = a(x - 2)^2 + 2$。又 $\because$ 抛物线过点 $(0, 1.5)$，$\therefore 1.5 = 4a + 2$，$\therefore a = -\frac{1}{8}$，$\therefore$ 上边缘抛物线的函数解析式为 $y = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2$，当 $y = 0$ 时，$0 = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2$，解得 $x_1 = 6$，$x_2 = -2$（舍去），$\therefore$ 喷出水的最大射程 $OC$ 为 $6m$。
② $\because$ 上边缘抛物线的对称轴为直线 $x = 2$，$\therefore$ 点 $(0, 1.5)$ 的对称点为 $(4, 1.5)$，$\therefore$ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 $4m$ 得到的，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$。
③ 先看上边缘抛物线，$\because EF = 0.5$，$\therefore$ 点 $F$ 的纵坐标为 $0.5$，$\therefore 0.5 = -\frac{1}{8}(x - 2)^2 + 2$，解得 $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$。$\because x ＞ 0$，$\therefore x = 2 + 2\sqrt{3}$，当 $x ＞ 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore$ 当 $2 \leq x \leq 6$ 时，要使 $y \geq 0.5$，则 $x \leq 2 + 2\sqrt{3}$。$\because$ 当 $0 \leq x \leq 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，且 $x = 0$ 时，$y = 1.5 ＞ 0.5$，$\therefore$ 当 $0 \leq x \leq 6$ 时，要使 $y \geq 0.5$，则 $0 \leq x \leq 2 + 2\sqrt{3}$。$\because DE = 3$，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，$\therefore d$ 的最大值为 $2 + 2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - 1$。再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 $d \geq OB$，$\therefore d$ 的最小值为 $2$，综上所述，$d$ 的取值范围是 $2 \leq d \leq 2\sqrt{3} - 1$。
(2) $h$ 的最小值为 $\frac{65}{32}$ 解析：当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 $D$，$F$ 恰好分别在两条抛物线上，设点 $D(m, -\frac{1}{8}(m + 2)^2 + h + 0.5)$，$F(m + 3, -\frac{1}{8}(m + 3 - 2)^2 + h + 0.5)$，则有 $-\frac{1}{8}(m + 3 - 2)^2 + h + 0.5 - [-\frac{1}{8} \cdot (m + 2)^2 + h + 0.5] = 1$，解得 $m = 2.5$，$\therefore$ 点 $D$ 的纵坐标为 $h - \frac{65}{32}$，$\therefore h - \frac{65}{32} = 0$，$\therefore h$ 的最小值为 $\frac{65}{32}$。