《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1.(金华中考)如图,$\odot O是等边\triangle ABC$的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是$\widehat {DF}$上一点,则$∠EPF$的度数是 (B)

A.$65^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$58^{\circ }$
D.$50^{\circ }$

答案： B

2.(达州中考)已知$\triangle ABC$的三边a,b,c满足$b+$$|c-3|+a^{2}-8a= 4\sqrt {b-1}-19$,则$\triangle ABC$的内切圆半径=

答案：
1
归纳总结
当△ABC为直角三角形时，∠C = 90°，a，b是直角边，c是斜边，l为△ABC的周长，则①内切圆的半径：r = $\frac{1}{2}$(a + b - c)；②内切圆的半径：r = $\frac{ab}{a + b + c}$ = $\frac{2S}{l}$（面积法）。

3.(2023·聊城中考改编)如图,点O是$\triangle ABC$外接圆的圆心,点I是$\triangle ABC$的内心,连接OB,IA.若$∠CAI= 35^{\circ }$,则$∠OBC$的度数为____20°.

答案： 20°

4.改编题 如图①,点O在$\triangle ABC$的内部,$∠A= 40^{\circ }.$
(1)若点O是$\triangle ABC$的外心,则$∠BOC$的度数等于____;
(2)若点O是$\triangle ABC$的内心,则$∠BOC$的度数等于____;

(3)如图②,$∠BAC= 52^{\circ },\odot O截\triangle ABC$三边所得的弦长相等,则$∠BOC$的度数是____.

答案：

(1)80°　
(2)110°　
(3)116°
归纳总结
如图，点O在△ABC的内部，∠A = x，①若点O是△ABC的外心，则∠BOC = 2∠BAC = 2x；②若点O是△ABC的内心，则∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠BAC = 90° + $\frac{1}{2}$x。

5.从三角形木板上截下一块圆形的木板.
(1)怎样才能使圆的面积尽可能大？(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若$\triangle ABC的三边长为AB= 4,BC= 5,AC= 6$,求$\triangle ABC$的面积.
(3)在(1)(2)的基础上,最大圆木板的半径为____.

答案：

(1)如图所示，作△ABC的内切圆⊙O。

(2)过点A作AM⊥BC于点M，设BM = x，则CM = 5 - x，由勾股定理得AB² - BM² = AM²，AC² - CM² = AM²，故4² - x² = 6² - (5 - x)²，整理得10x = 5，
∴x = $\frac{1}{2}$，AM = $\sqrt{4^{2}-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AM = $\frac{1}{2}$×5×$\frac{3\sqrt{7}}{2}$ = $\frac{15\sqrt{7}}{4}$。
(3)$\frac{\sqrt{7}}{2}$ 解析：如图，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F。连接OA，OD，OE，OF，设⊙O的半径为r，
∵S△ABC = S△OAB + S△OBC + S△OAC = $\frac{AB·OD}{2}$ + $\frac{BC·OE}{2}$ + $\frac{AC·OF}{2}$ = $\frac{15r}{2}$，
∴$\frac{15\sqrt{7}}{4}$ = $\frac{15r}{2}$，解得r = $\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴最大圆木板的半径为$\frac{\sqrt{7}}{2}$。

6.(随州中考)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是 (C)
A.$h= R+r$
B.$R= 2r$
C.$r= \frac {\sqrt {3}}{4}a$
D.$R= \frac {\sqrt {3}}{3}a$

答案： C

7.如图,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转$30^{\circ }$,得正方形$AB_{1}C_{1}D_{1},B_{1}C_{1}$交CD于点E,$AB= \sqrt {3}$,则四边形$AB_{1}ED$的内切圆半径为 (B)

A.$\frac {\sqrt {3}+1}{2}$
B.$\frac {3-\sqrt {3}}{2}$
C.$\frac {\sqrt {3}+1}{3}$
D.$\frac {3-\sqrt {3}}{3}$

答案： B

8.(泰州中考)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为$(3,6),(-3,3),(7,-2)$,则$\triangle ABC$内心的坐标为____(2,3).

答案： (2,3)