《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

10. (六盘水中考)三角形的两边$a,b的夹角为60^{\circ }且满足方程x^{2}-3\sqrt {2}x+4= 0$,则第三边的长是$ 2\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} $或$ \sqrt{6} $.

答案： $ 2\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} $或$ \sqrt{6} $
解析：$ \because x^{2}-3\sqrt{2}x+4=0,\therefore x_{1}=2\sqrt{2},x_{2}=\sqrt{2} $。
在$ \triangle ABC $中，$ a=BC,b=AC $，当$ a=b=2\sqrt{2},\angle C=60^{\circ} $时，三角形为等边三角形，第三边长为$ 2\sqrt{2} $；当$ a=b=\sqrt{2},\angle C=60^{\circ} $时，三角形为等边三角形，第三边长为$ \sqrt{2} $；当$ a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2},\angle C=60^{\circ} $时，过A作$ AH\perp BC $于点H，在$ Rt\triangle ACH $中，$ \because \angle C=60^{\circ},\therefore \angle CAH=30^{\circ},\therefore CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore BH=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} $。由勾股定理得$ AH=\frac{\sqrt{6}}{2} $。在$ Rt\triangle ABH $中，$ AB=\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}}=\sqrt{6} $，即三角形的第三边的长是$ \sqrt{6} $。综上所述，第三边长为$ 2\sqrt{2} $或$ \sqrt{2} $或$ \sqrt{6} $。

11. (2024·南京中考)已知$4-\sqrt {15}$是关于x的方程$(x-2)(ax^{2}+bx+c)= 0(a,b,c$是有理数,$a≠0)$的一个根,则该方程的另外两个根分别是2,$4+\sqrt{15}$.

答案： 2 $ 4+\sqrt{15} $
解析：关于x的方程$ (x - 2)(ax^{2}+bx + c)=0(a,b,c $是有理数，$ a\neq0) $中，$ x - 2 = 0 $或$ ax^{2}+bx + c = 0 $，即$ x = 2 $或$ ax^{2}+bx + c = 0 $。$ \because 4-\sqrt{15} $是关于x的方程$ (x - 2)(ax^{2}+bx + c)=0(a,b,c $是有理数，$ a\neq0) $的一个根，$ \therefore b^{2}-4ac\geq0 $，且$ \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=4-\sqrt{15} $。$ \because a,b,c $是有理数，$ a\neq0 $，$ \therefore \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=4+\sqrt{15} $也是关于x的方程$ (x - 2)(ax^{2}+bx + c)=0(a,b,c $是有理数，$ a\neq0) $的一个根，$ \therefore $该方程的另外两个根分别是2和$ 4+\sqrt{15} $。
归纳总结
如果$ x=m+\sqrt{n} $（m，n为有理数，$ \sqrt{n} $是无理数）是有理系数一元二次方程$ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $的一个根，则$ x=m-\sqrt{n} $是该方程的另一个根。

12. (南充中考)已知关于$x的一元二次方程(m-1)x^{2}-2mx+m+1= 0$.
(1)求出此方程的根;
(2)当$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数?

答案：
(1) 根据题意，得$ m\neq1 $。$ \because a=m - 1,b=-2m,c=m + 1,\therefore \Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m + 1)=4 $，根据公式法得$ x_{1}=\frac{2m + 2}{2(m - 1)}=\frac{m + 1}{m - 1},x_{2}=\frac{2m - 2}{2(m - 1)}=1 $。
(2) 由
(1)知，$ x_{1}=\frac{m + 1}{m - 1}=1+\frac{2}{m - 1} $。$ \because $方程的两个根都为正整数，$ \therefore \frac{2}{m - 1} $是正整数，$ \therefore m - 1 = 1 $或$ m - 1 = 2 $，解得$ m = 2 $或$ m = 3 $，即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
归纳总结
对于形如$ \frac{ax + b}{cx + d} $（x为变量，a，b，c，d为常量）的分式，可采用分离常数法，将分式分离成一个常数和一个分式（该分式的分子为常数）的形式。该方法在求取值范围或整数解时经常用到。

13. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中,介绍了形如$x^{2}+ax= b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法:如图,以$\frac {a}{2}和b为两直角边作Rt△ABC$,再在斜边上截取$BD= \frac {a}{2}$.
(1)图中哪条线段的长是方程$x^{2}+ax= b^{2}$的解? 并用含$a,b$的代数式表示它的长.线段AD的长；$\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.用求根公式求得$ x^{2}+ax = b^{2} $的根为$ x_{1}=\frac{-\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2} $。正确性：AD的长就是方程的正根。遗憾之处：图解法不能表示出方程的负根。

答案：
(1) 线段AD的长。$ \because \angle ACB = 90^{\circ},BC = BD=\frac{a}{2},AC = b $，$ \therefore AB=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}},\therefore AD=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}-\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2} $。
(2) 用求根公式求得$ x^{2}+ax = b^{2} $的根为$ x_{1}=\frac{-\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2} $。正确性：AD的长就是方程的正根。遗憾之处：图解法不能表示出方程的负根。

14. 一题多解 (绵阳中考)已知$a＞b＞0$,且$\frac {2}{a}+\frac {1}{b}+\frac {3}{b-a}= 0$,则$\frac {b}{a}= $$ \frac{-1+\sqrt{3}}{2} $.

答案： $ \frac{-1+\sqrt{3}}{2} $
解析：解法一：由$ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b - a}=0 $，去分母得$ 2b(b - a)+a(b - a)+3ab = 0 $，整理得$ 2b^{2}+2ab - a^{2}=0 $，两边同时除以$ a^{2} $得到关于$ \frac{b}{a} $的方程$ 2(\frac{b}{a})^{2}+\frac{2b}{a}-1 = 0 $，解得$ \frac{b}{a}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2} $。$ \because a＞b＞0,\therefore \frac{b}{a}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} $。
解法二：由$ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b - a}=0 $，整理得$ a^{2}-2ab - 2b^{2}=0 $，将其看作关于a的一元二次方程，根据公式法得$ a=\frac{2b\pm\sqrt{4b^{2}+8b^{2}}}{2}=b\pm\sqrt{3}b $。$ \because a＞b＞0,\therefore a=(1+\sqrt{3})b,\therefore \frac{b}{a}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} $。

15. 改编题 例:解方程$x^{4}-7x^{2}+12= 0$.
设$x^{2}= y$,则$x^{4}= y^{2}$,∴ 原方程可化为$y^{2}-7y+12= 0$,∴$a= 1,b= -7,c= 12$,∴$Δ=b^{2}-4ac= (-7)^{2}-4×1×12= 1$,∴$y= \frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}= \frac {-(-7)\pm \sqrt {1}}{2}$,解得$y_{1}= 3,y_{2}= 4$.
当$y= 3$时,$x^{2}= 3,x= \pm \sqrt {3}$;当$y= 4$时,$x^{2}= 4,x= \pm 2$.∴ 原方程有四个根:$x_{1}= \sqrt {3},x_{2}= -\sqrt {3},x_{3}= 2,x_{4}= -2$.
以上方法叫换元法,试用换元法解答下列问题.
(1)解方程:
①$(x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4= 0;$
设$ y = x^{2}+x $，则原方程可化为$ y^{2}-5y + 4 = 0 $，解得$ y_{1}=1,y_{2}=4 $。当$ x^{2}+x = 1 $，即$ x^{2}+x - 1 = 0 $时，解得$ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $；当$ x^{2}+x = 4 $，即$ x^{2}+x - 4 = 0 $时，解得$ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} $。综上所述，原方程的解为$ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_{4}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2} $。
②$3^{2x}-4×3^{x}+3= 0;$
原方程可变形为$ (3^{x})^{2}-4×3^{x}+3 = 0 $，设$ 3^{x}=t $，则原方程可化为$ t^{2}-4t + 3 = 0 $，解得$ t_{1}=1,t_{2}=3 $。当$ t = 1 $时，即$ 3^{x}=1 $，解得$ x = 0 $；当$ t = 3 $时，即$ 3^{x}=3 $，解得$ x = 1,\therefore $原方程的解为$ x_{1}=0,x_{2}=1 $。
③$x^{2}+2x+4\sqrt {x^{2}+2x}-5= 0.$
设$ \sqrt{x^{2}+2x}=t(t\geq0) $，则有$ x^{2}+2x = t^{2} $，原方程可化为$ t^{2}+4t - 5 = 0 $，解得$ t_{1}=-5,t_{2}=1 $。当$ t = -5 $时，$ \sqrt{x^{2}+2x}=-5 $，此方程无解；当$ t = 1 $时，$ \sqrt{x^{2}+2x}=1 $，则$ x^{2}+2x = 1 $，解得$ x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2} $。经检验，原方程的解为$ x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2} $。
(2)已知实数$x,y满足\left\{\begin{array}{l} 5x^{2}y^{2}+2x+2y= 133,\\ \frac {x+y}{4}+2x^{2}y^{2}= 51,\end{array}\right. 求x^{2}+y^{2}$的值.
令$ xy = a,x + y = b $，则原方程组可化为$ \begin{cases}5a^{2}+2b = 133,\frac{b}{4}+2a^{2}=51,\end{cases} $整理得$ \begin{cases}5a^{2}+2b = 133, &①\\16a^{2}+2b = 408, &②\end{cases} $② - ①得$ 11a^{2}=275 $，解得$ a^{2}=25 $，代入②可得$ b = 4,\therefore $方程组的解为$ \begin{cases}a = 5,\\b = 4\end{cases} $或$ \begin{cases}a = -5,\\b = 4\end{cases} $。当$ a = 5 $时，$ x + y = 4,xy = 5,\therefore x = 4 - y $，代入$ xy = 5 $，可得$ y^{2}-4y + 5 = 0 $，此时$ \Delta=16 - 20＜0 $，方程无解，故不符合题意，$ \therefore a = -5,b = 4,\therefore x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy = b^{2}-2a = 26 $，因此$ x^{2}+y^{2} $的值为26。

答案：
(1) ①设$ y = x^{2}+x $，则原方程可化为$ y^{2}-5y + 4 = 0 $，解得$ y_{1}=1,y_{2}=4 $。当$ x^{2}+x = 1 $，即$ x^{2}+x - 1 = 0 $时，解得$ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $；当$ x^{2}+x = 4 $，即$ x^{2}+x - 4 = 0 $时，解得$ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} $。综上所述，原方程的解为$ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_{4}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2} $。
②原方程可变形为$ (3^{x})^{2}-4\times3^{x}+3 = 0 $，设$ 3^{x}=t $，则原方程可化为$ t^{2}-4t + 3 = 0 $，解得$ t_{1}=1,t_{2}=3 $。当$ t = 1 $时，即$ 3^{x}=1 $，解得$ x = 0 $；当$ t = 3 $时，即$ 3^{x}=3 $，解得$ x = 1,\therefore $原方程的解为$ x_{1}=0,x_{2}=1 $。
③设$ \sqrt{x^{2}+2x}=t(t\geq0) $，则有$ x^{2}+2x = t^{2} $，原方程可化为$ t^{2}+4t - 5 = 0 $，解得$ t_{1}=-5,t_{2}=1 $。当$ t = -5 $时，$ \sqrt{x^{2}+2x}=-5 $，此方程无解；当$ t = 1 $时，$ \sqrt{x^{2}+2x}=1 $，则$ x^{2}+2x = 1 $，解得$ x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2} $。经检验，原方程的解为$ x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2} $。
(2) 令$ xy = a,x + y = b $，则原方程组可化为$ \begin{cases}5a^{2}+2b = 133,\\\frac{b}{4}+2a^{2}=51,\end{cases} $整理得$ \begin{cases}5a^{2}+2b = 133, &①\\16a^{2}+2b = 408, &②\end{cases} $② - ①得$ 11a^{2}=275 $，解得$ a^{2}=25 $，代入②可得$ b = 4,\therefore $方程组的解为$ \begin{cases}a = 5,\\b = 4\end{cases} $或$ \begin{cases}a = -5,\\b = 4\end{cases} $。当$ a = 5 $时，$ x + y = 4,xy = 5,\therefore x = 4 - y $，代入$ xy = 5 $，可得$ y^{2}-4y + 5 = 0 $，此时$ \Delta=16 - 20＜0 $，方程无解，故不符合题意，$ \therefore a = -5,b = 4,\therefore x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy = b^{2}-2a = 26 $，因此$ x^{2}+y^{2} $的值为26。