《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

10. 如图,抛物线$y= -x^2-2x+3$与x轴交于点A,B,把抛物线在

x轴及其上方的部分记作$C_1,$将$C_1$关于点B作中心对称得$C_2,C_2$与x轴交于另一点C,将$C_2$关于点C作中心对称得$C_3,$连接$C_1$与$C_3$的顶点,则图中阴影部分的面积为______.

答案：
32 解析：
∵抛物线$y=-x^{2}-2x+3$与x轴交于点A，B，
∴当$y=-x^{2}-2x+3=0$时，解得$x=-3$或$x=1$，则点A，B的坐标分别为$(-3,0)$，$(1,0)$，AB的长度为4。如图，从$C_{1}$，$C_{3}$两个部分的顶点分别向x轴作垂线交x轴于E，F两点。根据中心对称的性质知，阴影中x轴下方部分可以沿其对称轴平均分成两部分补到$C_{1}$与$C_{3}$，阴影部分转化为矩形。根据对称性，可得$BE=CF=4÷2=2$，则$EF=8$，利用配方法可得$y=-x^{2}-2x+3=-(x+1)^{2}+4$，则$C_{1}$的顶点坐标为$(-1,4)$，即矩形的高为4，
∴$S_{阴影}=8×4=32$。

11. 如图,在平面直角坐标系中,△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形,观察点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标之间的关系.在这种变换下:
(1)分别写出点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标;
点A的坐标为(4,3)，点P的坐标为(-4,-3)；点B的坐标为(3,1)，点Q的坐标为(-3,-1)；点C的坐标为(1,2)，点R的坐标为(-1,-2)。
(2)若△ABC内有一个点M(2a+5,1-3b)经过变换后,在△PRQ内的坐标为N(-3-a,-b+3),求关于x的方程(bx+3)/2 - (2+ax)/3 = 1的解.
由题可得△ABC与△PQR关于原点对称。
由题意得$2a+5=3+a$，$1-3b=b-3$，解得$a=-2$，$b=1$，则原方程可化为$\frac{x+3}{2}-\frac{2-2x}{3}=1$，解得$x=\frac{1}{7}$。

答案：
(1)点A的坐标为(4,3)，点P的坐标为(-4,-3)；点B的坐标为(3,1)，点Q的坐标为(-3,-1)；点C的坐标为(1,2)，点R的坐标为(-1,-2)。
(2)由题可得△ABC与△PQR关于原点对称。
由题意得$2a+5=3+a$，$1-3b=b-3$，解得$a=-2$，$b=1$，则原方程可化为$\frac{x+3}{2}-\frac{2-2x}{3}=1$，解得$x=\frac{1}{7}$。

12. (内江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC= 90°,AB= AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为(A)

A. (-4,-5)
B. (-5,-4)
C. (-3,-4)
D. (-4,-3)

答案： A
归纳总结
中点坐标公式：已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)为平面直角坐标系中的两点，则线段AB的中点M的坐标为$(\frac{x₁+x₂}{2},\frac{y₁+y₂}{2})$。利用中点坐标公式可知，点A(x₁,y₁)关于点M(a,b)的对称点为$(2a-x₁,2b-y₁)$。

13. (恩施州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,0),B(1,2),C(1,-2).已知N(-1,0),作点N关于点A的对称点$N_1,$点$N_1$关于点B的对称点$N_2,$点$N_2$关于点C的对称点$N_3,$点$N_3$关于点A的对称点$N_4,$点$N_4$关于点B的对称点$N_5,…,$以此类推,则点$N_2₀_2_5$的坐标为______.

答案：
(-3,-8) 解析：由题意作出如图所示的图形，点N坐标为(-1,0)，点N关于点A的对称点N₁的坐标为(-3,0)，点N₁关于点B的对称点N₂的坐标为(5,4)，点N₂关于点C的对称点N₃的坐标为(-3,-8)，点N₃关于点A的对称点N₄的坐标为(-1,8)，点N₄关于点B的对称点N₅的坐标为(3,-4)，点N₅关于点C的对称点N₆的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，
∴每6个点循环一次。
∵$2025÷6=337\cdots\cdots3$，
∴点N₂₀₂₅的坐标与点N₃的坐标相同，其坐标为(-3,-8)。

14. 如图,已知A(2,3)和直线y= x.
(1)分别写出点A关于直线y= x的对称点B和关于原点对称的点C的坐标;B(3,2)，C(-2,-3)
(2)若点D是点B关于原点的对称点,判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
四边形ABCD是矩形。理由：∵点B，D关于原点对称，∴BO=DO。同理AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形。∵点A关于直线y=x的对称点为点B，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形。

答案：
(1)
∵A(2,3)，
∴点A关于直线y=x的对称点B和关于原点对称的点C的坐标分别为B(3,2)，C(-2,-3)。
(2)四边形ABCD是矩形。理由：
∵点B，D关于原点对称，
∴BO=DO。同理AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵点A关于直线y=x的对称点为点B，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形。
归纳总结
点P(m,n)关于直线y=x对称的点P₁的坐标为(n,m)，关于直线y=-x对称的点P₂的坐标为(-n,-m)。