《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

7. (长春中考)已知二次函数 $ y = - x ^ { 2 } - 2 x + 3 $,当 $ a \leq x \leq \frac { 1 } { 2 } $ 时,函数值y的最小值为1,则a的值为$-1-\sqrt{3}$。

答案： $-1-\sqrt{3}$

8. (2023·福建中考)已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - 2 a x + b ( a ＞ 0 ) $ 经过 $ A ( 2 n + 3, y _ { 1 } ) $,$ B ( n - 1, y _ { 2 } ) $ 两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,则n的取值范围是$-1 ＜ n ＜ 0$。

答案： $-1 ＜ n ＜ 0$

9. (2024·浙江中考)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ (b,c为常数)的图象经过点 $ A ( - 2, 5 ) $,对称轴为直线 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $。
(1) 求二次函数的解析式；
解：由题意$-\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}$，$b = 1$，把$A(-2,5)$代入$y = x^{2}+bx+c$得$4 - 2 + c = 5$，解得$c = 3$，∴$y = $$x^{2}+x+3$。
(2) 若点 $ B ( 1, 7 ) $ 向上平移2个单位长度,向左平移 $ m ( m ＞ 0 ) $ 个单位长度后,恰好落在 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象上,求m的值；
解：点$B$平移后的点的坐标为$(1 - m,9)$，则$9 = (1 - m)^{2}+(1 - m)+3$，解得$m = 4$或$m = -1$(舍)，∴$m$的值为4。
(3) 当 $ - 2 \leq x \leq n $ 时,二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \frac { 9 } { 4 } $,求n的取值范围。
解：当$n ＜ -\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5 - [(n + \frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}] = \frac{9}{4}$，解得$n_{1} = n_{2} = -\frac{1}{2}$，不符合题意，舍去；当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时，最大值与最小值的差为$5 - \frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，符合题意；当$n ＞ 1$时，最大值与最小值的差为$(n + \frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}-\frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，解得$n_{1} = 1$，$n_{2} = -2$，均不符合题意。综上所述，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$。

答案：
(1)由题意$-\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}$，$b = 1$，把$A(-2,5)$代入$y = x^{2}+bx+c$得$4 - 2 + c = 5$，解得$c = 3$，
∴$y = x^{2}+x+3$。
(2)点$B$平移后的点的坐标为$(1 - m,9)$，则$9 = (1 - m)^{2}+(1 - m)+3$，解得$m = 4$或$m = -1$(舍)，
∴$m$的值为4。
(3)当$n ＜ -\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5 - [(n + \frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}] = \frac{9}{4}$，解得$n_{1} = n_{2} = -\frac{1}{2}$，不符合题意，舍去；当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时，最大值与最小值的差为$5 - \frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，符合题意；当$n ＞ 1$时，最大值与最小值的差为$(n + \frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}-\frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，解得$n_{1} = 1$，$n_{2} = -2$，均不符合题意。综上所述，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$。

10. (岳阳中考)已知二次函数 $ y = m x ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } x - 3 $ (m为常数,$ m \neq 0 $),点 $ P ( x _ { p }, y _ { p } ) $ 是该函数图象上一点,当 $ 0 \leq x _ { p } \leq 4 $ 时,$ y _ { p } \leq - 3 $,则m的取值范围是 (A)
A. $ m \geq 1 $ 或 $ m ＜ 0 $
B. $ m \geq 1 $
C. $ m \leq - 1 $ 或 $ m ＞ 0 $
D. $ m \leq - 1 $

答案： A

11. (2024·苏州模拟)函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 a x - 1 $ 在 $ 1 \leq x \leq 4 $ 有最小值-5,则实数a的值是____2。

答案： 2

12. (2024·枣阳期中)当 $ - 2 \leq x \leq 1 $ 时,二次函数 $ y = - ( x - m ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } + 1 $ 有最大值4,则实数m的值为2或$-\sqrt{3}$。

答案： 2或$-\sqrt{3}$

13. (2023·嘉兴中考)在二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 t x + 3 ( t ＞ 0 ) $ 中。
(1) 若它的图象过点 $ ( 2, 1 ) $,求t的值；
(2) 当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时,y的最小值为-2,求出t的值；
(3) 如果 $ A ( m - 2, a ) $,$ B ( 4, b ) $,$ C ( m, a ) $ 都在这个二次函数的图象上,且 $ a ＜ b ＜ 3 $,求m的取值范围。

答案：
(1)将$(2,1)$代入$y = x^{2}-2tx+3$中，解得$t = \frac{3}{2}$。
(2)抛物线的对称轴为直线$x = t$。若$0 ＜ t≤3$，当$x = t$时，函数取得最小值，
∴$t^{2}-2t^{2}+3 = -2$，解得$t = ±\sqrt{5}$。
∵$t ＞ 0$，
∴$t = \sqrt{5}$；若$t ＞ 3$，当$x = 3$时，函数取得最小值，
∴$-2 = 9 - 6t+3$，解得$t = \frac{7}{3}$(不合题意，舍去)。综上所述，$t = \sqrt{5}$。
(3)由题意得$A(m - 2,a)$，$C(m,a)$关于对称轴对称，
∴$\frac{m - 2 + m}{2} = t$，即$m - 1 = t$。
∵$t ＞ 0$，
∴$m - 1 ＞ 0$，即$m ＞ 1$。
∵$m - 2 ＜ m$，
∴$A$在对称轴左侧，$C$在对称轴右侧。
∵抛物线与$y$轴交点为$(0,3)$，抛物线的对称轴为直线$x = t$，
∴此交点关于对称轴的对称点为$(2m - 2,3)$。
∵$a ＜ 3$，$b ＜ 3$且$t ＞ 0$，
∴$4 ＜ 2m - 2$，解得$m ＞ 3$；当$A$，$B$都在对称轴左边时，
∵$a ＜ b$，
∴$4 ＜ m - 2$，解得$m ＞ 6$，此时$m$满足的条件是$m ＞ 6$；当$A$，$B$分别在对称轴两侧时，
∵$a ＜ b$，
∴$B$到对称轴的距离大于$A$到对称轴的距离，$4 - (m - 1) ＞ m - 1 - (m - 2)$，解得$m ＜ 4$，此时$m$满足的条件是$3 ＜ m ＜ 4$。综上所述，$3 ＜ m ＜ 4$或$m ＞ 6$。

14. 已知二次函数 $ y = ( x - a ) ^ { 2 } + 5 - a ^ { 2 } $,当 $ 2 a \leq x \leq 2 a + 2 $ 时,有最大值 $ y _ { 1 } $ 及最小值 $ y _ { 2 } $,当 $ y _ { 1 } - y _ { 2 } = a ^ { 2 } - 1 $ 时,实数a的值为-3或5。

答案： -3或5

15. (舟山中考)已知抛物线 $ L _ { 1 } : y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 ( a \neq 0 ) $ 经过点 $ A ( 1, 0 ) $。
(1) 求抛物 $ L _ { 1 } $ 的函数解析式；
(2) 将抛物线 $ L _ { 1 } $ 向上平移 $ m ( m ＞ 0 ) $ 个单位长度得到抛物线 $ L _ { 2 } $。若抛物线 $ L _ { 2 } $ 的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线 $ L _ { 1 } $ 上,求m的值；
(3) 把抛物线 $ L _ { 1 } $ 向右平移 $ n ( n ＞ 0 ) $ 个单位长度得到抛物线 $ L _ { 3 } $。已知点 $ P ( 8 - t, s ) $,$ Q ( t - 4, r ) $ 都在抛物线 $ L _ { 3 } $ 上,若当 $ t ＞ 6 $ 时,都有 $ s ＞ r $,求n的取值范围。

答案：
(1)将$A(1,0)$代入得$0 = (1 + 1)^{2}a - 4$，解得$a = 1$，
∴抛物线$L_{1}$的函数解析式为$y = (x + 1)^{2}-4$。
(2)
∵将抛物线$L_{1}$向上平移$m$个单位长度得到抛物线$L_{2}$，
∴抛物线$L_{2}$的函数解析式为$y = (x + 1)^{2}-4 + m$。
∴顶点坐标为$(-1,-4 + m)$，
∴它关于$O$的对称点为$(1,4 - m)$，将$(1,4 - m)$代入抛物线$L_{1}$得$4 - m = (1 + 1)^{2}-4$，
∴$m = 4$。
(3)把$L_{1}$向右平移$n$个单位长度，得抛物线$L_{3}$的函数解析式为$y = (x + 1 - n)^{2}-4$，对称轴为直线$x = n - 1$，开口向上。
∵点$P(8 - t,s)$，$Q(t - 4,r)$，由$t ＞ 6$得$8 - t ＜ 2 ＜ t - 4$，
∴点$P$在点$Q$的左侧。
①当$P$，$Q$同在对称轴左侧时，都有$s ＞ r$，$n - 1 ＞ t - 4$，即$n ＞ t - 3$，
∵$t ＞ 6$，
∴$n ＞ 3$。
②当$P$，$Q$在对称轴异侧时，
∵$s ＞ r$，
∴$n - 1 - (8 - t) ＞ t - 4 - (n - 1)$，解得$n ＞ 3$。
③当$P$，$Q$同在对称轴右侧时，都有$s ＜ r$(舍)。
综上所述，$n ＞ 3$。