《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

9.对于实数$a,b$,定义运算“$\odot$”如下:$a\odot b = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}$.若$(m + 2)\odot(m - 3) = 24$,则$m = $-3或4.

答案： -3或4

10.用适当的方法解方程.
(1)$2(x^{2} - 1) = \sqrt{3}x$;$x_{1}=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {19}}{4},x_{2}=\frac {\sqrt {3}-\sqrt {19}}{4}$
(2)$(x - 5)(x + 1) = 7$;$x_{1}=-2,x_{2}=6$
(3)$(2y - 1)^{2} = y^{2} - 10y + 25$.$y_{1}=2,y_{2}=-4$
归纳总结
直接开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程.若方程一次项系数为$0(ax^{2}+c=0,a≠0)$,适合用直接开平方法;若常数项为$0(ax^{2}+bx=0,a≠0)$,适合用因式分解法;对于部分含有括号的一元二次方程,也适合用直接开平方法和因式分解法.配方法和公式法可以解任意一元二次方程.不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法更为简便.

答案：
(1)$x_{1}=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {19}}{4},x_{2}=\frac {\sqrt {3}-\sqrt {19}}{4}$
(2)$x_{1}=-2,x_{2}=6$
(3)$y_{1}=2,y_{2}=-4$
归纳总结
直接开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程.若方程一次项系数为$0(ax^{2}+c=0,a≠0)$,适合用直接开平方法;若常数项为$0(ax^{2}+bx=0,a≠0)$,适合用因式分解法;对于部分含有括号的一元二次方程,也适合用直接开平方法和因式分解法.配方法和公式法可以解任意一元二次方程.不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法更为简便.

11.(南充中考)已知关于$x的一元二次方程x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$.
(1)求证:无论$k$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$k与\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数,求$k$所有可能的值.

答案：
(1)$\because Δ=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+k)=1＞0,\therefore $无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)$\because x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$,即$(x-k)[x-(k+1)]=0$,解得$x=k$或$x=k+1,\therefore $一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$的两根为$k,k+1,\therefore \frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {k+1}{k}=1+\frac {1}{k}$或$\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {k}{k+1}=1-\frac {1}{k+1}$.如果$1+\frac {1}{k}$为整数,那么k为1的约数,$\therefore k=\pm 1$;如果$1-\frac {1}{k+1}$为整数,那么$k+1$为1的约数,$\therefore k+1=\pm 1$,则k为0或-2.$\therefore $整数k的所有可能的值为$\pm 1$,0或-2.

12.原创题 我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解,即$x^{2} + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$.如:$x^{2} + 5x + 6 = x^{2} + (2 + 3)x + 2×3 = (x + 2)(x + 3)$.“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程.
(1)一元二次方程$x^{2} - 4x - 12 = 0$的解为$x_{1}=6,x_{2}=-2$;
(2)若$\frac{x^{2} - 5x - 6}{|x| - 6} = 0$,则$x$的值为-1;
(3)如果$x^{2} - x - 1 = (x^{2} - 3x - 4)^{0}$,那么$x$的值为2.

答案：
(1)$x_{1}=6,x_{2}=-2$
(2)-1
(3)2

13.改编题 (1)若菱形$ABCD$的一条对角线长为8,边$CD的长是方程x^{2} - 10x + 24 = 0$的一个根,则该菱形$ABCD$的周长为24,面积为$16\sqrt {5}$.
(2)已知$2x^{2} - xy - 3y^{2} = 0$,则$\frac{x - y}{x + y}$的值是$\frac {1}{5}$.

答案：
(1)24 $16\sqrt {5}$
(2)$\frac {1}{5}$

14.改编题 (1)若实数$a,b满足(4a + 4b)(4a + 4b - 2) = 8$,则$a + b = $$-\frac {1}{2}$或1.
(2)方程$(2x + 5)^{2} + 3 = 4(2x + 5)$的解为$x_{1}=-1,x_{2}=-2$.
(3)已知$x$为实数,且满足$(x^{2} + 3x)^{2} + 2(x^{2} + 3x) - 3 = 0$,求$x^{2} + 3x - 1$的值.
设$y=x^{2}+3x,(x^{2}+3x)^{2}+2(x^{2}+3x)-3=0$可化为$y^{2}+2y-3=0,(y+3)(y-1)=0$,解得$y_{1}=-3,y_{2}=1$.当$x^{2}+3x=-3$时,$Δ=-3＜0$,无实数根;当$x^{2}+3x=1$时,$Δ=13＞0.\therefore x^{2}+3x-1=0$.

答案：
(1)$-\frac {1}{2}$或1
(2)$x_{1}=-1,x_{2}=-2$
(3)设$y=x^{2}+3x,(x^{2}+3x)^{2}+2(x^{2}+3x)-3=0$可化为$y^{2}+2y-3=0,(y+3)(y-1)=0$,解得$y_{1}=-3,y_{2}=1$.当$x^{2}+3x=-3$时,$Δ=-3＜0$,无实数根;当$x^{2}+3x=1$时,$Δ=13＞0.\therefore x^{2}+3x-1=0$.