《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 下列函数(a,b,c是常数)中,一定是二次函数的是 (C)
A. $ y = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } $
B. $ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } $
C. $ p = - q ^ { 2 } $
D. $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $

答案： C

2. 二次函数 $ y = 5 x ( x - 1 ) $ 的一次项系数是(D)
A. 1
B. -1
C. 2
D. -5

答案： D

3. 教材P41习题T2变式 一台机器原价60万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器的价格为y万元,则y与x的函数解析式为 (A)
A. $ y = 60 ( 1 - x ) ^ { 2 } $
B. $ y = 60 ( 1 - 2 x ) $
C. $ y = 60 - x ^ { 2 } $
D. $ y = 60 ( 1 + x ) ^ { 2 } $

答案： A

4. 下列函数关系中,是二次函数的有 (D)
A. 在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 正方形的边长为3,如果边长增加x,那么面积增加y,则y与x之间的关系

答案： D

5. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 7 $,若自变量x的值为3,则函数值 $ y = $8;若函数值是8,则对应的 $ x = $3或 - 5.

答案： 8 3或 - 5

6. 改编题 若 $ y = ( a - 3 ) x ^ { | a | - 1 } - ( a - 3 ) x + a ^ { 2 } $ 是二次函数,则a的值为-3,此时该函数的二次项是-6x²,常数项是9.

答案： -3 -6x² 9

7. 已知矩形的周长为36 m,矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱,设矩形的这条边长为x m,圆柱的侧面积为 $ y m ^ { 2 } $,则y与x的函数解析式为y = 2π(36÷2 - x)·x(或y = -2πx² + 36πx).

答案： y = 2π(36÷2 - x)·x(或y = -2πx² + 36πx)

8. 原创题 下列函数(x,t是自变量)是二次函数的有②⑥⑦⑨⑩.(填序号)
① $ y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } $;② $ s = 3 - \sqrt { 2 } t ^ { 2 } $;③ $ y = \pi ^ { 2 } + 2 x $;
④ $ y = \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $;⑤ $ y = \frac { x ^ { 4 } } { x ^ { 2 } } $;⑥ $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = \frac { y } { 3 } $;
⑦ $ 2 s = - ( t - 1 ) ( t + 4 ) $;⑧ $ y = 2 x ( x ^ { 2 } - 3 x + 1 ) $;
⑨ $ y = - m ^ { 2 } x ^ { 2 } - x ^ { 2 } $;⑩ $ y = a x ^ { 2 } - \frac { 1 } { a } x $.

答案： ②⑥⑦⑨⑩ 解析:①不是二次函数;②是二次函数,二次项系数是 - √2,一次项系数是0,常数项是3;③不是二次函数;④不是二次函数;⑤不是二次函数;⑥是二次函数,二次项系数是3,一次项系数是 - 6,常数项是3;⑦是二次函数,二次项系数是 - 1/2,一次项系数是 - 3/2,常数项是2;⑧不是二次函数;⑨是二次函数,二次项系数是 - m² - 1,一次项系数是0,常数项是0;⑩是二次函数,二次项系数是a,一次项系数是 - 1/a,常数项是0.
归纳总结
一个函数是二次函数必须同时满足三个条件:①化简前的原函数解析式是整式;②化简整理后自变量的最高次数是2;③化简整理后二次项系数不等于0.

9. 教材P57复习题T7变式 如图,有长为28 m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为16 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,并留有两个1 m的小门.设花圃的宽AB为x m,面积为 $ S m ^ { 2 } $.
(1)求S与x的函数解析式及自变量的取值范围;S=-3x² + 30x，自变量x的取值范围是14/3 ≤ x ＜ 10
(2)要围成面积为 $ 63 m ^ { 2 } $ 的花圃,求出AB的长是多少米.AB的长是7米.

答案：
(1)根据题意得S = x(28 - 3x + 2),即所求的函数解析式为S = -3x² + 30x.又
∵0 ＜ 28 - 3x + 2 ≤ 16,
∴14/3 ≤ x ＜ 10.
(2)根据题意,S = 63,
∴ -3x² + 30x = 63,解得x₁ = 3(舍去),x₂ = 7.答:AB的长是7m.