《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·雅安中考)在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + bx + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A ( 1,0 ) $, $ B ( 3,0 ) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图①,若点 $ P $ 是线段 $ BC $ 上的一个动点(不与点 $ B $, $ C $ 重合),过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线交抛物线于点 $ Q $,当线段 $ PQ $ 的长度最大时,求点 $ Q $ 的坐标.
(3)如图②,在(2)的条件下,过点 $ Q $ 的直线与抛物线交于点 $ D $,且 $ \angle CQD = 2 \angle OCQ $. 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ E $,使得 $ \triangle BDE $ 为等腰三角形? 若存在,直接写出点 $ E $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1) 由题意得：$y = a(x - 1)(x - 3) = a(x^2 - 4x + 3) = ax^2 + bx + 3$，则$a = 1$，则抛物线的解析式为$y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 由抛物线的解析式知，点$C(0, 3)$，由点$B$，$C$的坐标得，直线$CB$的解析式为$y = -x + 3$，设点$Q(x, x^2 - 4x + 3)$，则点$P(x, -x + 3)$，则$PQ = -x + 3 - (x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 3x$，$\because -1 ＜ 0$，故$PQ$有最大值，此时$x = \frac{3}{2}$，则$y = x^2 - 4x + 3 = -\frac{3}{4}$，即点$Q(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$。
(3) 存在，点$E(0, 8 + \sqrt{43})$或$(0, 8 - \sqrt{43})$或$(0, 5)$或$(0, \sqrt{59})$或$(0, -\sqrt{59})$。解析：设直线$CQ$的解析式为$y = mx + n$，由点$C$，$Q$的坐标得，$\begin{cases}-\frac{3}{4} = \frac{3}{2}m + n \\ 3 = n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{5}{2} \\ n = 3\end{cases}$，$\therefore$直线$CQ$的解析式为$y = -\frac{5}{2}x + 3$，令$y = 0$，$x = \frac{6}{5}$，故$M(\frac{6}{5}, 0)$，过点$Q$作$TQ // y$轴交$x$轴于点$T$，如图，则$\angle TQC = \angle QCO$， $\because \angle CQD = 2\angle OCQ$，$\angle TQC = \angle QCO$，则$\angle CQT = \angle DQT$，即直线$CQ$和$DQ$关于直线$QT$对称，故$M'(\frac{9}{5}, 0)$，设直线$DQ$的解析式为$y = dx + c$，代入$Q(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$，$M'(\frac{9}{5}, 0)$，得$\begin{cases}-\frac{3}{4} = \frac{3}{2}d + c \\ 0 = \frac{9}{5}d + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}d = \frac{5}{2} \\ c = -\frac{9}{2}\end{cases}$，则直线$DQ$的解析式为$y = \frac{5}{2}x - \frac{9}{2}$，联立上式和抛物线的解析式得$x^2 - 4x + 3 = \frac{5}{2}x - \frac{9}{2}$，解得$x = \frac{3}{2}$（舍去）或$5$，即点$D(5, 8)$；设点$E(0, y)$，由$B$，$D$，$E$的坐标得，$BD^2 = 68$，$DE^2 = 25 + (y - 8)^2$，$BE^2 = 9 + y^2$，当$DE = BD$时，则$68 = 25 + (y - 8)^2$，解得$y = 8 \pm \sqrt{43}$，即点$E(0, 8 + \sqrt{43})$或$E(0, 8 - \sqrt{43})$；当$DE = BE$或$BD = BE$时，同理可得$25 + (y - 8)^2 = 9 + y^2$或$9 + y^2 = 68$，解得$y = 5$或$\pm \sqrt{59}$，即点$E(0, 5)$或$(0, \sqrt{59})$或$(0, -\sqrt{59})$。综上，点$E(0, 8 + \sqrt{43})$或$(0, 8 - \sqrt{43})$或$(0, 5)$或$(0, \sqrt{59})$或$(0, -\sqrt{59})$。

2. (2023·内江中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ B ( 4,0 ) $, $ C ( - 2,0 ) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ A ( 0, - 2 ) $.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)若点 $ P $ 是直线 $ AB $ 下方抛物线上的一动点,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线交 $ AB $ 于点 $ K $,过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线交 $ x $ 轴于点 $ D $,求 $ \frac { 1 } { 2 } P K + P D $ 的最大值及此时点 $ P $ 的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 $ M $,使得 $ \triangle MAB $ 是以 $ AB $ 为一条直角边的直角三角形? 若存在,请求出点 $ M $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1) 由题意得$\begin{cases}16a + 4b + c = 0 \\ 4a - 2b + c = 0 \\ c = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{4} \\ b = -\frac{1}{2} \\ c = -2\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$。
(2) $\because A(0, -2)$，$B(4, 0)$，$\therefore$直线$AB$的解析式为$y = \frac{1}{2}x - 2$，设$P(m, \frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{2}m - 2)(0 ＜ m ＜ 4)$，则$K(\frac{1}{2}m^2 - m, \frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{2}m - 2)$，$\therefore \frac{1}{2}PK + PD = \frac{1}{2}(m - \frac{1}{2}m^2 + m) + (-\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 2) = -\frac{1}{2}m^2 + \frac{3}{2}m + 2 = -\frac{1}{2}(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{8}$，$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$，$\therefore$当$m = \frac{3}{2}$时，$\frac{1}{2}PK + PD$有最大值，最大值为$\frac{25}{8}$，此时$P(\frac{3}{2}, -\frac{35}{16})$。
(3) 存在。如图，过点$A$作$AM_2 \perp AB$交抛物线的对称轴于点$M_2$，过点$B$作$BM_1 \perp AB$交抛物线的对称轴于点$M_1$，连接$AM_1$，$BM_2$，设$M_1(1, n)$，则$AM_1^2 = n^2 + 4n + 5$，$BM_1^2 = n^2 + 9$，由$AB^2 + BM_1^2 = AM_1^2$，可得$2^2 + 4^2 + n^2 + 9 = n^2 + 4n + 5$，$\therefore n = 6$，$\therefore M_1(1, 6)$，$\therefore$直线$BM_1$的解析式为$y = -2x + 8$，$\because AM_2 // BM_1$，且经过$A(0, -2)$，$\therefore$直线$AM_2$的解析式为$y = -2x - 2$，$\therefore$当$x = 1$时，$y = -2×1 - 2 = -4$，$\therefore M_2(1, -4)$，综上所述，存在，点$M$的坐标为$(1, 6)$或$(1, -4)$。