《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

6. 改编题 阅读材料,解决问题:
材料一:解一元二次方程的基本思路是降次.降次思想也能用于解某些高次方程.例如,解一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$,可以将方程变为$x(x^{2}+x-2)= 0$,从而求解.
材料二:因式定理:一个关于x的多项式,如果$x= a$时,多项式的值为0,那么$x-a$是原多项式的一个因式.例如,对于多项式$x^{3}+x^{2}-3x+1$,发现当$x= 1$时,$x^{3}+x^{2}-3x+1= 0$,所以$x^{3}+x^{2}-3x+1的一个因式是x-1$,设$x^{3}+x^{2}-3x+1= (x-1)(x^{2}+ax-1)$,从而求出a的值.
(1)解方程:
①$x^{3}-2x^{2}-x+2= 0$；
②$x^{3}+5x^{2}+8x+4= 0$.
(2)若关于x的方程$x^{3}-5x^{2}+(4+k)x-k= 0$的三个根可作为一个等腰三角形的三边长,则实数k的值为____4____.
(3)若关于x的方程$x^{4}+2x^{3}+(3+m)x^{2}+(2+m)x+2m= 0$有实数根,求实数m的取值范围.

答案：
(1) ①$x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x^2 - 1) = (x - 2)(x + 1)(x - 1) = 0$，$\therefore x = 2$或$x = -1$或$x = 1$。
②$x = -1$是方程$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$的一个解，$\therefore$设$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + ax + b)$，$(x + 1)(x^2 + ax + b) = x^3 + ax^2 + bx + x^2 + ax + b = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + b)x + b$。$\because x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + ax + b)$，$\therefore a + 1 = 5$，$a + b = 8$，$b = 4$，解得$a = 4$，$b = 4$。故原方程可化为$(x + 1)(x^2 + 4x + 4) = 0$，解得$x = -1$或$x = -2$。
(2) 4 解析：$x^3 - 5x^2 + (4 + k)x - k = x^3 - 4x^2 - x^2 + 4x + kx - k = (x^2 - 4x)x - (x^2 - 4x) + (x - 1)k = (x^2 - 4x)(x - 1) + (x - 1)k = (x - 1) \cdot (x^2 - 4x + k) = 0$，$\therefore x = 1$或$x^2 - 4x + k = 0$。$\because$方程的解是等腰三角形的三边，$\therefore$一条边长为1。当1为等腰三角形的腰长时，则$x^2 - 4x + k = 0$的一个解是$x = 1$，$\therefore k = 3$，此时$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个根为$x = 1$或$x = 3$，$\therefore$三角形的三条边长为1，1，3，不成立；当1为等腰三角形的底边长时，$x^2 - 4x + k = 0$有两个相等的实数根，$\therefore 16 - 4k = 0$，$\therefore k = 4$。当$k = 4$时，$x^2 - 4x + 4 = 0$，$x_1 = x_2 = 2$，此时三角形成立。故$k = 4$。
(3) $x^4 + 2x^3 + (3 + m)x^2 + (2 + m)x + 2m = x^4 + 2x^3 + x^2 + (2 + m)x^2 + (2 + m)x + 2m = (x^2 + x)^2 + (2 + m)(x^2 + x) + 2m = (x^2 + x + m)(x^2 + x + 2) = 0$，$\therefore x^2 + x + m = 0$或$x^2 + x + 2 = 0$。$\because x^2 + x + 2 = 0$中，$\Delta = 1 - 8 ＜ 0$，$\therefore x^2 + x + 2 = 0$无实数根，$\therefore x^2 + x + m = 0$有实数根，$\therefore \Delta = 1 - 4m \geq 0$，解得$m \leq \frac{1}{4}$。

7. (自主招生改编)阅读材料:
我们在解决数学问题时,如果从某一角度用某种方法难以奏效,不妨换一个角度去思考,换一种方法去处理,这样有可能使问题“迎刃而解”.
例如解方程:$x^{3}-2\sqrt {2}x^{2}+2x-\sqrt {2}+1= 0$,这是一个高次方程,我们未学过其解法,难以求解.如果我们换一个角度(“已知”和“未知”互换),即将$\sqrt {2}$看成“未知数”,而将x看成“已知数”,则原方程可整理成$x(\sqrt {2})^{2}-(2x^{2}+1)\sqrt {2}+(x^{3}+1)= 0,b^{2}-4ac= (-2x^{2}-1)^{2}-4x(x^{3}+1)= 4x^{2}-4x+1= (2x-1)^{2}$,解得$\sqrt {2}= x+1或\sqrt {2}= \frac {x^{2}-x+1}{x}$.
故方程可转化为一个一元一次方程$\sqrt {2}= x+1和一个一元二次方程x^{2}-x+1= \sqrt {2}x$,从而不难求得这个高次方程的解.
解决问题:
(1)解方程:$9x-3x^{2}-3+\frac {1}{4}x^{3}+\frac {1}{2}x= 0$；
(2)已知关于x的方程$x^{3}-ax^{2}-2ax+a^{2}-1= 0$有且只有一个实数根,求实数a的取值范围.
(1) $x_1 = 3 - \sqrt{7}$，$x_2 = 3 + \sqrt{7}$，$x_3 = 6$
(2) $a ＜ \frac{3}{4}$

答案：
(1) $\because 9x - 3x^2 - 3 + \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x = 0$，$\therefore x \cdot 3^2 - (x^2 + 1) \cdot 3 + (\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x) = 0$，$b^2 - 4ac = (-x^2 - 1)^2 - 4x(\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x) = 1 ＞ 0$，解得$3 = \frac{x}{2}$或$3 = \frac{x^2 + 2}{2x}$，当$3 = \frac{x}{2}$时，解得$x = 6$；当$3 = \frac{x^2 + 2}{2x}$时，解得$x_1 = 3 - \sqrt{7}$，$x_2 = 3 + \sqrt{7}$，经检验得出$x_1 = 3 - \sqrt{7}$，$x_2 = 3 + \sqrt{7}$都是方程的解。综上所述，方程的解为$x_1 = 3 - \sqrt{7}$，$x_2 = 3 + \sqrt{7}$，$x_3 = 6$。
(2) 把方程变形为关于$a$的一元二次方程$a^2 - (x^2 + 2x)a + x^3 - 1 = 0$，则$\Delta = (-x^2 - 2x)^2 - 4(x^3 - 1) = (x^2 + 2)^2$，由公式法得$a = \frac{x^2 + 2x \pm (x^2 + 2)}{2}$，即$a = x - 1$或$a = x^2 + x + 1$。$\therefore x = a + 1$或$x^2 + x + 1 - a = 0$。$\because$关于$x$的方程$x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$有且只有一个实数根，$\therefore$方程$x^2 + x + 1 - a = 0$没有实数根，即$\Delta ＜ 0$，$\therefore 1 - 4(1 - a) ＜ 0$，解得$a ＜ \frac{3}{4}$。$\therefore a$的取值范围是$a ＜ \frac{3}{4}$。