《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

10. (铜仁中考)已知抛物线$y = a(x - h)^2 + k与x轴有两个交点A(- 1,0)$,$B(3,0)$,抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k与x轴的一个交点是(4,0)$,则$m$的值是 ( C )
A. 5
B. $- 1$
C. 5或1
D. $- 5或- 1$

答案： C

11. (宜宾中考改编)如图,抛物线$y_1 = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 1与y_2 = a(x - 4)^2 - 3交于点A(1,3)$,过点$A作x$轴的平行线,分别交两条抛物线于$B$,$C$两点,且$D$,$E$分别为顶点。则下列结论：①$a = \frac{2}{3}$；②$AC = AE$；③$\triangle ABD$是等腰直角三角形；④当$x ＞ 1$时,$y_1 ＞ y_2$。其中正确的结论有①③。(填序号)

答案： ①③

12. (鸡西中考)已知抛物线$y = a(x - 2)^2 + c经过点A(- 2,0)和点C(0,\frac{9}{4})$,与$x轴交于另一点B$,顶点为$D$。
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点$D$的坐标；
抛物线的解析式为$y=$$-\frac{3}{16}(x - 2)^2 + 3$，顶点$D$的坐标为$(2,3)$。
(2)如图,点$E$,$F分别在线段AB$,$BD$上(点$E不与点A$,$B$重合),且$\angle DEF = \angle DAB$,$DE = EF$,直接写出线段$BE$的长。
线段$BE$的长为5。

答案：
(1)将点A(−2,0)，C(0,$\frac{9}{4}$)的坐标分别代入y = a(x - 2)² + c，得$\begin{cases}16a + c = 0, \\ 4a + c = \frac{9}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{3}{16}, \\ c = 3,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y = −$\frac{3}{16}$(x - 2)² + 3，
∴顶点D的坐标为(2,3).
(2)BE = 5.

13. (岳阳中考)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”。如图,在正方形$OABC$中,点$A(0,2)$,点$C(2,0)$,则互异二次函数$y = (x - m)^2 - m与正方形OABC有交点时m$的最大值和最小值分别是____。

答案：
$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,−1 解析：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x−m)²−m的顶点(m,−m)在直线y=−x上运动，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，
∴B(2,2).当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.当y=(x−m)²−m经过点A(0,2)时，m=2或m=−1；当y=(x−m)²−m经过点B(2,2)时，m=$\frac{5−\sqrt{17}}{2}$或m=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，
∴m的最大值和最小值分别是$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,−1.

14. (长春中考改编)在平面直角坐标系中,抛物线$y = 2(x - m)^2 + 2m$($m$为常数)的顶点为$A$。
(1)当$m = \frac{1}{2}$时,点$A$的坐标是____,抛物线与$y$轴交点的坐标是____；
(2)若点$A$在第一象限,且$OA = \sqrt{5}$,求此抛物线所对应的二次函数的解析式,并写出函数值$y随x的增大而减小时x$的取值范围；
(3)当$x \leq 2m$时,若函数$y = 2(x - m)^2 + 2m$的最小值为3,则$m$的值为____；
(4)分别过点$P(4,2)$,$Q(4,2 - 2m)作y$轴的垂线,交抛物线的对称轴于点$M$,$N$。当抛物线$y = 2(x - m)^2 + 2m与四边形PQNM$的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点$B$、点$C$,且点$B的纵坐标大于点C$的纵坐标。若点$B到y轴的距离与点C到x$轴的距离相等,直接写出$m$的值。

答案：
$(1)(\frac{1}{2},1)　(0,\frac{3}{2})(2)$
∵点A(m,2m)在第一象限，且$OA=\sqrt{5}，$
∴$m²+(2m)²=(\sqrt{5})²，$且m＞0，解得m=1，
∴抛物线的解析式为y=2(x−1)²+2.故当x≤1时，函数值y随x的增大而减小$.(3)\frac{3}{2}$或$-\frac{1 + \sqrt{7}}{2} $解析：
∵当x≤2m时，若函数y=2(x−m)²+2m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m≥m，即m≥0时.
①当m＜0时，2(2m−m)²+2m=3，解得$m=\frac{−1+\sqrt{7}}{2}($舍)或$m=-\frac{1 + \sqrt{7}}{2}；$②当m≥0时，2(m−m)²+2m=3，解得$m=\frac{3}{2}.$综上所述，m的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{1 + \sqrt{7}}{2}.(4)m$的值为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$或$\frac{11 - \sqrt{13}}{18}$或$-3 - \sqrt{6}. $解析：P(4,2)，Q(4,2 - 2m)，抛物线y = 2(x - m)² + 2m.
①当m ＞ 1时，
∵2m ＞ 2, 2 - 2m ＜ 0，
∴抛物线y = 2(x - m)² + 2m与四边形PQNM的边没有交点.
②当m = 1时，
∵2m = 2, 2 - 2m = 0，
∴抛物线y = 2(x - m)² + 2m与四边形PQNM的边只有一个交点，即为点M.
③当\frac{1}{2} \leq m ＜ 1时，如图①，
∵1 ≤ 2m ＜ 2，0 ＜ 2 - 2m ≤ 1，P(4,2)，Q(4,2 - 2m)，
∴M(m,2)，N(m,2 - 2m)，抛物线y = 2(x - m)² + 2m与四边形PQNM的边有两个交点，点B在PM边上，点C在MN边上，点C与抛物线顶点A重合，
∴C(m,2m)，
∴令y = 2(x - m)² + 2m = 2，
∴x = m + \sqrt{1 - m}或x = m - \sqrt{1 - m}(舍去较小的值)，
∴B(m + \sqrt{1 - m},2)，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴m + \sqrt{1 - m} = 2m，解得m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}或m = \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}(舍去较小的值).

④当$0 \leq m $＜ \frac{1}{2}时，如图②，
∴点B在PM边上，点C在NQ边上，
∴B(m + \sqrt{1 - m},2)，C(m + \sqrt{1 - 2m},2 - 2m)，则2 - 2m = m + \sqrt{1 - m}，解得m = \frac{11 \pm \sqrt{13}}{18}，
∵0 \leq m ＜ \frac{1}{2}，
∴m = \frac{11 - \sqrt{13}}{18}.
⑤当m ＜ 0时，图象大致如图③④，
∵2m ＜ 0, 2 - 2m ＞ 2，
∴点B在NQ边上，点C在PM边上，易知点C到x轴的距离为2，令y = 2(x - m)² + 2m = 2 - 2m，解得$x = m + \sqrt{1 - 2m}$或$x = m - \sqrt{1 - 2m}($舍去较小的值)，
∴点$B(m + \sqrt{1 - 2m},2 - 2m)，$由图可知，点B到y轴的距离为|$m + \sqrt{1 - 2m}$|，当$m + \sqrt{1 - 2m} = 2$时，得m² - 2m + 3 = 0，$\Delta $＜ 0，无实数根；当-(m + \sqrt{1 - 2m}) = 2时，得m² + 6m + 3 = 0，解得m = -3 - \sqrt{6}或m = -3 + \sqrt{6}，经验证，m = -3 + \sqrt{6}不符合题意，
∴m = -3 - \sqrt{6}.
综上所述，m的值为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$或$\frac{11 - \sqrt{13}}{18}$或$-3 - \sqrt{6}.$