《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = 2x^{2}+bx + 1 $ ( $ b $ 为常数),当 $ b $ 取不同的值时,对应得到一系列二次函数的图象,它们的顶点都在一条抛物线上,则这条抛物线的解析式是$y = - 2 x ^ { 2 } + 1$；如果二次函数 $ y = 2x^{2}+bx + 1 $ 图象的顶点只在 $ x $ 轴上方移动,那么 $ b $ 的取值范围是$ - 2 \sqrt { 2 } ＜ b ＜ 2 \sqrt { 2 }$.

答案： $y = - 2 x ^ { 2 } + 1$ $ - 2 \sqrt { 2 } ＜ b ＜ 2 \sqrt { 2 }$

2. 改编题 如图,经过点 $ A(0,-6) $ 的抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 6 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ B $,$ C $ 两点. 现将抛物线向左平移 1 个单位长度,再向上平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度得到新抛物线 $ y_{1} $,若新抛物线 $ y_{1} $ 的顶点 $ P $ 在 $ \triangle ABC $ 内 (不含边界),则 $ m $ 的取值范围是$3 ＜ m ＜ 8$.

答案： $3 ＜ m ＜ 8$

3. (2024·长春期末) 如图,在平面直角坐标系中,将函数 $ y = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}+2 $ 的图象沿 $ y $ 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点 $ A(1,m) $,$ B(6,n) $ 平移后的对应点分别为点 $ A' $,$ B' $. 若图中的阴影部分图形的面积为 10,则新函数的解析式为____.

答案：
$y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + 4$ 解析:如图,连接 $A B , A ^ { \prime } B ^ { \prime }$ ,$\because$ 将函数 $y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2$ 的图象沿 $y$ 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点 $A ( 1 , m ) , B ( 6 , n )$ 平移后的对应点分别为点 $A ^ { \prime }$ , $B ^ { \prime }$ ,$\therefore A A ^ { \prime } = B B ^ { \prime }$ , $A B = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$ ,$\therefore$ 四边形 $A B B ^ { \prime } A ^ { \prime }$ 是平行四边形,$\therefore S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \text { 平行四边形 } A B B ^ { \prime } A ^ { \prime } }$ $\because$ 图中的阴影部分图形的面积为 10 , 且 $A ( 1 , m ) , B ( 6 , n )$ ,$\therefore A A ^ { \prime } \times ( 6 - 1 ) = 10$ ,$\therefore A A ^ { \prime } = 2$ , 即函数 $y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2$ 的图象沿 $y$ 轴向上平移了 2 个单位长度,$\therefore$ 新函数的解析式为 $y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2 + 2$ , 即 $y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + 4$ .

4. (2024·廊坊月考) 如图①,抛物线 $ y_{1} = -x^{2}+c $ 经过 $ (1,3) $.
(1) 求 $ c $ 的值及抛物线 $ y_{1} $ 的顶点坐标；
4；(0,4)
(2) 当 $ -3\leqslant x\leqslant 1 $ 时,求出 $ y_{1} $ 的最大值与最小值的和；
-1
(3) 如图②,将抛物线 $ y_{1} $ 向右平移 $ m $ 个单位长度 $ (m＞0) $,再向上平移 $ 2m $ 个单位长度得到新的抛物线 $ y_{2} $,点 $ N $ 为抛物线 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的交点. 设点 $ N $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ n $,直接写出 $ n $ 关于 $ m $ 的函数解析式,及当 $ n $ 随 $ m $ 的增大而减小时,$ m $ 的取值范围.
$ n = \begin{cases} -\dfrac{1}{4}m^{2}+m+3, &0 < m \leqslant 6 \\ \dfrac{1}{4}m^{2}-m-3, &m > 6 \end{cases} $；$ 2 < m < 6 $

答案：
(1) $\because$ 抛物线 $y _ { 1 } = - x ^ { 2 } + c$ 经过 $( 1,3 )$ ,$\therefore - 1 + c = 3$ , 解得 $c = 4$ ,$\therefore y _ { 1 } = - x ^ { 2 } + 4$ ,$\therefore$ 顶点为 $( 0,4 )$ .
(2) $\because$ 二次函数 $y _ { 1 } = - x ^ { 2 } + 4$ 的顶点坐标为 $( 0,4 )$ , 图象开口向下,$\therefore$ 当 $x = 0$ 时, 函数有最大值, 最大值为 $y _ { 1 } = 4$ , 当 $x \leqslant 0$ 时, $y _ { 1 }$ 随 $x$ 的增大而增大, 当 $x \geqslant 0$ 时, $y _ { 1 }$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x = - 3$ 时, $y _ { 1 } = - 3 ^ { 2 } + 4 = - 5$ , 当 $x = 1$ 时, $y _ { 1 } = - 1 ^ { 2 } + 4 = 3$ ,$\therefore$ 当 $- 3 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $y _ { 1 }$ 的最大值为 4 , $y _ { 1 }$ 的最小值为 $- 5$ ,$\therefore y _ { 1 }$ 的最大值与最小值的和为 $- 5 + 4 = - 1$ .
(3) 将抛物线 $y _ { 1 }$ 向右平移 $m$ 个单位长度 $( m ＞ 0 )$ , 再向上平移 $2 m$ 个单位长度得到新的抛物线 $y _ { 2 }$ ,$\therefore y _ { 2 } = - ( x - m ) ^ { 2 } + 4 + 2 m$ , 当 $y _ { 1 } = y _ { 2 }$ 时, $- ( x - m ) ^ { 2 } + 4 + 2 m = - x ^ { 2 } + 4$ , 整理得 $2 m x - m ^ { 2 } + 2 m = 0$ . 又 $\because m ＞ 0$ ,$\therefore x = \frac { 1 } { 2 } m - 1$ ,$\therefore y = - \left( \frac { 1 } { 2 } m - 1 \right) ^ { 2 } + 4$ , 当 $- \frac { 1 } { 4 } ( m - 2 ) ^ { 2 } + 4 = 0$ 时, 解得 $m _ { 1 } = - 2$ , $m _ { 2 } = 6$ .$\because - \frac { 1 } { 4 } ＜ 0$ ,$\therefore$ 抛物线的开口向下, 当 $0 ＜ m \leqslant 6$ 时, $y \geqslant 0$ , $n = - \frac { 1 } { 4 } ( m - 2 ) ^ { 2 } + 4 = - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 3$ , 当 $m ＞ 6$ 时, $y ＜ 0$ , $n = - y = \frac { 1 } { 4 } ( m - 2 ) ^ { 2 } - 4 = \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } - m - 3$ , 综上所述, $n = \begin{cases} - \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } + m + 3 , &0 ＜ m \leqslant 6 \\ \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } - m - 3 , &m ＞ 6 \end{cases}$ 当 $2 ＜ m ＜ 6$ 时, $n$ 随 $m$ 的增大而减小 .

5. 如图,将二次函数 $ y = |x^{2}-m|(m＞0) $ 的图象记为 $ y_{1} $,一次函数 $ y = x + b $ 的图象记为 $ y_{2} $,则以下说法：

①当 $ m = 1 $,且 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 恰好有三个交点时,$ b $ 有唯一值为 1；②当 $ b = 2 $,且 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 恰有两个交点时,$ m＞4 $ 或 $ 0＜m＜\frac{7}{4} $；③当 $ m = b $ 时,$ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 至少有两个交点,且其中一个为 $ (0,m) $；④当 $ m = -b $ 时,$ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 一定有交点. 其中正确说法的序号为____.

答案：
②③ 解析:如图, $y _ { 1 } = \begin{cases} x ^ { 2 } - m ( x ＞ \sqrt { m } \text { 或 } x ＜ - \sqrt { m } ) \\ - x ^ { 2 } + m ( - \sqrt { m } ＜ x ＜ \sqrt { m } ) \end{cases}$ , $y _ { 2 } = x + b$ .
①当 $m = 1$ , 直线与抛物线相切时也有三个交点, 此时 $b = \frac { 5 } { 4 }$ ,$\therefore b = 1$ 或 $b = \frac { 5 } { 4 }$ , 故①错误; ②当 $b = 2$ , $y _ { 1 }$ 与 $y _ { 2 }$ 恰有两个交点时, 由图象可知, 有两种情况, 一种是直线 $y _ { 2 }$ 与 $y = x ^ { 2 } - m$ 有一个交点, 且与 $y = - x ^ { 2 } + m$ 有一个交点, 此时 $m ＞ 4$ , 另一种是 $y _ { 2 }$ 与 $y = x ^ { 2 } - m$ 有两个交点, 联立方程, 利用根的判别式得 $0 ＜ m ＜ \frac { 7 } { 4 }$ , 故②正确; ③当 $m = b$ 时, $y _ { 1 }$ 与 $y _ { 2 }$ 均与 $y$ 轴相交于点 $( 0 , m )$ , 由图象可知 $y _ { 1 }$ 与 $y _ { 2 }$ 至少有两个交点, 故③正确; ④当 $m = - b$ 时, $\because m ＞ 0$ ,$\therefore b ＜ 0$ , 由图象可知 $y _ { 1 }$ 与 $y _ { 2 }$ 不一定有交点(也可联立方程, 用根的判别式来求), 故④错误.

6. (2023·连云港中考) 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ L_{1}:y = x^{2}-2x - 3 $ 的顶点为 $ P $. 直线 $ l $ 过点 $ M(0,m)(m\geqslant - 3) $,且平行于 $ x $ 轴,与抛物线 $ L_{1} $ 交于 $ A $,$ B $ 两点 ( $ B $ 在 $ A $ 的右侧). 将抛物线 $ L_{1} $ 沿直线 $ l $ 翻折得到抛物线 $ L_{2} $,抛物线 $ L_{2} $ 交 $ y $ 轴于点 $ C $,顶点为 $ D $.
(1) 当 $ m = 1 $ 时,求点 $ D $ 的坐标；
(2) 连接 $ BC $,$ CD $,$ DB $,若 $ \triangle BCD $ 为直角三角形,求此时 $ L_{2} $ 所对应的函数解析式；
(3) 在 (2) 的条件下,若 $ \triangle BCD $ 的面积为 3,$ E $,$ F $ 两点分别在边 $ BC $,$ CD $ 上运动,且 $ EF = CD $,以 $ EF $ 为一边作正方形 $ EFGH $,连接 $ CG $,写出 $ CG $ 长度的最小值,并简要说明理由.

答案：

(1) $\because y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4$ ,$\therefore$ 抛物线 $L _ { 1 }$ 的顶点坐标 $P ( 1 , - 4 )$ .$\because m = 1$ ,$\therefore$ 点 $P$ 和点 $D$ 关于直线 $y = 1$ 对称,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $( 1,6 )$ .
(2) $\because$ 抛物线 $L _ { 1 }$ 的顶点 $P ( 1 , - 4 )$ 与 $L _ { 2 }$ 的顶点 $D$ 关于直线 $y = m$ 对称,$\therefore D ( 1 , 2 m + 4 )$ , 抛物线 $L _ { 2 }: y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 m + 4 ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 2 m + 3$ ,$\therefore$ 当 $x = 0$ 时, $C ( 0 , 2 m + 3 )$ . ①当 $\angle B C D = 90 ^ { \circ }$ 时, 如图①, 过点 $D$ 作 $D N \perp y$ 轴于点 $N$ ,$\because D ( 1 , 2 m + 4 )$ ,$\therefore N ( 0 , 2 m + 4 )$ .$\because C ( 0 , 2 m + 3 )$ ,$\therefore D N = N C = 1$ ,$\therefore \angle D C N = 45 ^ { \circ }$ .$\because \angle B C D = 90 ^ { \circ }$ ,$\therefore \angle B C O = 45 ^ { \circ }$ .$\because$ 直线 $l // x$ 轴,$\therefore \angle B O C = 90 ^ { \circ }$ ,$\angle C B O = \angle B C O = 45 ^ { \circ }$ , $B O = C O$ .$\because m \geqslant - 3$ ,$\therefore B O = C O = ( 2 m + 3 ) - m = m + 3$ ,$\therefore B ( m + 3 , m )$ .$\because$ 点 $B$ 在 $y = x ^ { 2 } - 2 x - 3$ 的图象上,$\therefore m = ( m + 3 ) ^ { 2 } - 2 ( m + 3 ) - 3$ ,$\therefore m = 0$ 或 $m = - 3$ .$\because$ 当 $m = - 3$ 时, 得 $B ( 0 , - 3 )$ , $C ( 0 , - 3 )$ , 此时, 点 $B$ 和点 $C$ 重合, 舍去, 当 $m = 0$ 时, 符合题意; 将 $m = 0$ 代入 $L _ { 2 }: y = - x ^ { 2 } + 2 x + 2 m + 3$ 得 $L _ { 2 }: y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3$ .

②当 $\angle B D C = 90 ^ { \circ }$ 时, 如图②, 过点 $B$ 作 $B T \perp N D$ 交 $N D$ 的延长线于点 $T$ , 同理, $B T = D T$ ,$\therefore D ( 1 , 2 m + 4 )$ ,$\therefore D T = B T = ( 2 m + 4 ) - m = m + 4$ .$\because D N = 1$ ,$\therefore N T = D N + D T = 1 + ( m + 4 ) = m + 5$ ,$\therefore B ( m + 5 , m )$ .$\because$ 点 $B$ 在 $y = x ^ { 2 } - 2 x - 3$ 的图象上,$\therefore m = ( m + 5 ) ^ { 2 } - 2 ( m + 5 ) - 3$ ，解得 $m = - 3$ 或 $m = - 4$ .$\because m \geqslant - 3$ ，$\therefore m = - 4$ 不符合题意, 舍去, 当 $m = - 3$ 时, $B ( 2 , - 3 )$ , $C ( 0 , - 3 )$ 符合题意; 将 $m = - 3$ 代入 $L _ { 2 }: y = - x ^ { 2 } + 2 x + 2 m + 3$ 得 $L _ { 2 }: y = - x ^ { 2 } + 2 x - 3$ .
③易知, 当 $\angle D B C = 90 ^ { \circ }$ 时, 此种情况不存在.
综上所述, $L _ { 2 }$ 所对应的函数解析式为 $y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3$ 或 $y = - x ^ { 2 } + 2 x - 3$ .
(3) $C G$ 长度的最小值为 $\frac { \sqrt { 10 } - \sqrt { 2 } } { 2 }$ . 理由: 由
(2) 知, 当 $\angle B D C = 90 ^ { \circ }$ , $m = - 3$ 时, 此时 $\triangle B C D$ 的面积为 1 , 不符合题意, 舍去, 当 $\angle B C D = 90 ^ { \circ }$ , $m = 0$ 时, 此时 $\triangle B C D$ 的面积为 3 , 符合题意, 由题意得 $E F = F G = C D = \sqrt { 2 }$ , 取 $E F$ 的中点 $Q$ , 在 $\mathrm { Rt } \triangle C E F$ 中可求得 $C Q = \frac { 1 } { 2 } E F = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ , 在 $\mathrm { Rt } \triangle F G Q$ 中可求得 $G Q = \frac { \sqrt { 10 } } { 2 }$ , 当 $Q , C , G$ 三点共线时, $C G$ 取最小值, 最小值为 $\frac { \sqrt { 10 } - \sqrt { 2 } } { 2 }$ .