《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

3. (2024·河北中考节选)如图,抛物线$C_{1}:y = ax^{2} - 2x过点(4,0)$,顶点为$Q$.抛物线$C_{2}:y = -\frac{1}{2}(x - t)^{2} + \frac{1}{2}t^{2} - 2$(其中$t$为常数,且$t ＞ 2$),顶点为$P$.
(1)直接写出$a的值和点Q$的坐标.
(2)当$t = 4$时,
①求直线$PQ$的解析式;
②作直线$l // PQ$,当$l与C_{2}的交点到x轴的距离恰为6$时,求$l与x$轴交点的横坐标.

答案：

(1) $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$，点 $Q$ 的坐标为 $(2,-2)$。解析：$\because$ 抛物线 $C_{1}:y = ax^{2}-2x$ 过点 $(4,0)$，顶点为 $Q$，$\therefore16a - 8 = 0$，解得 $a=\frac{1}{2}$，$\therefore$ 抛物线为 $y=\frac{1}{2}x^{2}-2x=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-2$，$\therefore Q(2,-2)$。
(2) ① 当 $t = 4$ 时，$C_{2}:y = -\frac{1}{2}(x - t)^{2}+\frac{1}{2}t^{2}-2 = -\frac{1}{2}(x - 4)^{2}+6$，$\therefore$ 顶点 $P(4,6)$，而 $Q(2,-2)$，设直线 $PQ$ 的解析式为 $y = ex + f$，$\therefore\begin{cases}4e + f = 6\\2e + f = -2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}e = 4\\f = -10\end{cases}$，$\therefore$ 直线 $PQ$ 的解析式为 $y = 4x - 10$。
② 如图，当 $C_{2}:y = -\frac{1}{2}(x - 4)^{2}+6 = -6$ 时（等于 $6$ 时，两直线重合，不符合题意），解得 $x = 4\pm2\sqrt{6}$，$\therefore$ 交点 $J$ 的坐标为 $(4 - 2\sqrt{6},-6)$，交点 $K$ 的坐标为 $(4 + 2\sqrt{6},-6)$，当直线 $l$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $J$ 时，由直线 $l// PQ$，设直线 $l$ 的解析式为 $y = 4x + b$，$\therefore4\times(4 - 2\sqrt{6})+b = -6$，解得 $b = 8\sqrt{6}-22$，$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y = 4x + 8\sqrt{6}-22$，当 $y = 4x + 8\sqrt{6}-22 = 0$ 时，$x=\frac{11}{2}-2\sqrt{6}$，此时直线 $l$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $\frac{11}{2}-2\sqrt{6}$；同理当直线 $l$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $K$ 时，直线 $l$ 为 $y = 4x - 8\sqrt{6}-22$，当 $y = 4x - 8\sqrt{6}-22 = 0$ 时，$x=\frac{11}{2}+2\sqrt{6}$，此时直线 $l$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $\frac{11}{2}+2\sqrt{6}$。

4. (2023·仙桃中考节选)如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y = ax^{2} + bx - 6(a \neq 0)与x轴交于点A(-2,0)$,$B(6,0)$,与$y轴交于点C$,连接$BC$.
(1)抛物线的解析式为____;(直接写出结果)
(2)如图②,若动直线$l与抛物线交于M,N$两点(直线$l与BC$不重合),连接$CN$,$BM$,直线$CN与BM交于点P$.当$MN // BC$时,点$P$的横坐标是否为定值,请说明理由.

答案：

(1) $y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$
(2) 当 $MN// BC$ 时，点 $P$ 的横坐标是定值。理由如下：
设点 $M$ 的坐标为 $(m,\frac{1}{2}m^{2}-2m - 6)$，点 $N$ 的坐标为 $(n,\frac{1}{2}n^{2}-2n - 6)$。$\because$ 直线 $MN$ 与 $BC$ 不重合，$\therefore m\neq0$ 且 $m\neq6$，$n\neq0$ 且 $n\neq6$。

如图，由点 $B(6,0)$，点 $C(0,-6)$，可得到直线 $BC$ 的解析式为 $y_{BC}=x - 6$。$\because MN// BC$，$\therefore$ 可设直线 $MN$ 的解析式为 $y_{MN}=x + t$。将 $y_{MN}=x + t$ 代入 $y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$，得 $\frac{1}{2}x^{2}-3x - 6 - t = 0$，$\therefore m + n = 6$，$\therefore$ 点 $N$ 的坐标可以表示为 $N(6 - m,\frac{1}{2}m^{2}-4m)$。设直线 $CN$ 的解析式为 $y = k_{2}x + b_{2}$，由点 $C(0,-6)$，点 $N(6 - m,\frac{1}{2}m^{2}-4m)$，得 $\begin{cases}0 + b_{2} = -6\\(6 - m)k_{2} + b_{2}=\frac{1}{2}m^{2}-4m\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_{2}=-\frac{1}{2}m + 1\\b_{2}=-6\end{cases}$，$\therefore$ 直线 $CN$ 的解析式为 $y_{CN}=(-\frac{1}{2}m + 1)x - 6$。同上，由点 $B(6,0)$，点 $M(m,\frac{1}{2}m^{2}-2m - 6)$，可得到直线 $BM$ 的解析式为 $y_{BM}=(\frac{1}{2}m + 1)x - 3m - 6$，$\therefore(-\frac{1}{2}m + 1)x - 6 = (\frac{1}{2}m + 1)x - 3m - 6$，$\therefore mx = 3m$，$\therefore x = 3$，$\therefore$ 点 $P$ 的横坐标为定值 $3$。