《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 如图,在 $\text{Rt} \triangle ABC$ 中, $\angle B = 90 ^ { \circ } $, $\angle BAC $ 的平分线交 $ BC $ 于点 $ D $, $ E $ 为 $ AB $ 上的一点, $ DE = DC $,以 $ D $ 为圆心, $ DB $ 长为半径作 $ \odot D $, $ AB = 5 $, $ EB = 3 $.
(1)求证: $ AC $ 是 $ \odot D $ 的切线;
证明：过点 D 作 $DF \perp AC$ 于 F，$\because \angle B = 90^{\circ}$，AD 平分 $ \angle BAC$，$DF \perp AC$，$\therefore BD = DF$，$\therefore AC$ 是 $ \odot D$ 的切线。
(2)求线段 $ AC $ 的长.
解：在 $ \text{Rt} \triangle BDE$ 和 $ \text{Rt} \triangle FDC$ 中，$\because BD = DF$，$DE = DC$，$\therefore \text{Rt} \triangle BDE \cong \text{Rt} \triangle FDC (HL)$，$\therefore EB = FC$。易证得 $AB = AF$，$\therefore AB + EB = AF + FC$，即 $AB + EB = AC$，$\therefore AC = 5 + 3 = $8。

答案：
(1) 过点 D 作 $DF \perp AC$ 于 F，$\because \angle B = 90^{\circ}$，AD 平分 $ \angle BAC$，$DF \perp AC$，$\therefore BD = DF$，$\therefore AC$ 是 $ \odot D$ 的切线。
(2) 在 $ \text{Rt} \triangle BDE$ 和 $ \text{Rt} \triangle FDC$ 中，$\because BD = DF$，$DE = DC$，$\therefore \text{Rt} \triangle BDE \cong \text{Rt} \triangle FDC (HL)$，$\therefore EB = FC$。易证得 $AB = AF$，$\therefore AB + EB = AF + FC$，即 $AB + EB = AC$，$\therefore AC = 5 + 3 = 8$。

2. (2024·镇江中考)如图,将 $ \triangle ABC $ 沿过点 $ A $ 的直线翻折并展开,点 $ C $ 的对应点 $ C ^ { \prime } $ 落在边 $ AB $ 上,折痕为 $ AD $,点 $ O $ 在边 $ AB $ 上, $ \odot O $ 经过点 $ A $, $ D $.若 $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $,判断 $ BC $ 与 $ \odot O $ 的位置关系,并说明理由.

答案：
BC 与 $ \odot O$ 相切。理由：如图，连接 OD。$\because OA = OD$，$\therefore \angle OAD = \angle ODA$。$\because$ 图形沿过点 A 的直线翻折，点 C 的对应点 $C'$ 落在边 AB 上，$\therefore \angle CAD = \angle OAD$，$\therefore \angle CAD = \angle ODA$，$\therefore AC // OD$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ODC = 90^{\circ}$，即 $OD \perp BC$，$\therefore BC$ 与 $ \odot O$ 相切。

3. (潍坊中考)如图, $ BD $ 为 $ \triangle ABC $ 的外接圆 $ \odot O $ 的直径,且 $ \angle BAE = \angle C $.
(1)求证: $ AE $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ A $;
(2)若 $ AE // BC $, $ BC = 2 \sqrt { 7 } $, $ AC = 2 \sqrt { 2 } $,求 $ AD $ 的长.$2\sqrt{14}$

答案：
(1) 连接 OA，交 BC 于点 F，则 $OA = OD$，$\therefore \angle D = \angle DAO$。$\because \angle D = \angle C$，$\therefore \angle C = \angle DAO$。$\because \angle BAE = \angle C$，$\therefore \angle BAE = \angle DAO$。$\because BD$ 是 $ \odot O$ 的直径，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}$，即 $ \angle DAO + \angle BAO = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAE + \angle BAO = 90^{\circ}$，即 $ \angle OAE = 90^{\circ}$，$\therefore AE \perp OA$，$\therefore AE$ 与 $ \odot O$ 相切于点 A。
(2) $ \because AE // BC$，$AE \perp OA$，$\therefore OA \perp BC$，$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，$FB = \frac{1}{2}BC$，$\therefore AB = AC$。$\because BC = 2\sqrt{7}$，$AC = 2\sqrt{2}$，$\therefore BF = \sqrt{7}$，$AB = 2\sqrt{2}$。在 $ \text{Rt} \triangle ABF$ 中，$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2} = 1$，在 $ \text{Rt} \triangle OFB$ 中，$OB^2 = BF^2 + (OB - AF)^2$，$\therefore OB = 4$，$\therefore BD = 8$，$\therefore$ 在 $ \text{Rt} \triangle ABD$ 中，$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{64 - 8} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$。