《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

11.如图是某月的日历表,在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数与最小数的积为225,则这6个数的和为100.

答案： 100

12.某种植物的根特别发达,它的主根长出若干数目的支根,支根中的$\frac{1}{3}$又长出同样多的小支根,而其余支根长出一半数目的小支根,主根、支根、小支根的总数是109个,则这种植物的主根长出12个支根.

答案： 12

13.在一次足球联赛中,组委会将若干支球队平均分成8小组,首先在小组中进行单循环赛(每两队赛一场),每组的前两名产生16强,然后在16强中进行淘汰赛(每两队淘汰一队),最后产生冠、亚、季军(季军的产生要多赛一场).组委会共需组织96场比赛(淘汰赛共16场),则一共有40支球队参赛.

答案： 40 解析:设每组有$x$支球队,则列方程为$\frac{8x(x - 1)}{2} + 16 = 96$,解得$x_1 = 5$,$x_2 = -4$(舍去),所以一共有$8×5 = 40$(支)球队参赛.

14.子曰:"吾十有五而志于学,三十而立,四十而不惑,五十而知天命,六十而耳顺,七十而从心所欲,不逾矩."
列方程解决问题:"大江东去浪淘尽,千古风流数周瑜,而立之年督东吴,早逝英年两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得快,多少年华数周瑜?"

答案： 设周瑜逝世的年龄的个位数字为$x$,则十位数字为$x - 3$,根据题意得$10(x - 3) + x = x^2$,解得$x_1 = 5$,$x_2 = 6$,当$x_1 = 5$时,周瑜逝世的年龄是25岁.$\because$25岁小于而立之年,$\therefore$不符合题意,舍去.当$x_2 = 6$时,周瑜逝世的年龄是36岁,符合题意.故周瑜逝世的年龄是36岁.

15.新趋势项目式学习改编题握手问题探究:
【问题】(1)在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.若参加聚会的人数为6,则共握手15次,若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握了$\frac{n(n - 1)}{2}$次手.(用含n的代数式表示)
【变式】(2)①一个QQ群中有若干成员,每个成员都分别给群里其他成员发送了一条信息,这样共有756条信息,这个QQ群中共有28个成员.
②小王毕业后选择去边疆支教,他的亲友为小王送行,小王及父母与前来送行的客人一一握手,客人之间也相互握手,但小王及父母之间不握手,共有88次握手,则送行的客人来了11人.
【拓展】(3)①若一条直线上共有5个点,则这条直线上共有10条线段.
②若一条线段AB上共有m个点(不含端点A,B),则共有线段$\frac{(m + 2)(m + 1)}{2}$条.(用含m的代数式表示)
【应用】(4)一段铁路上共有6个火车站,若一列火车往返过程中,必须停靠每个车站,则铁路局需为这段线路准备30种不同的车票.
(5)已知由边长为1的小正方形拼成如图所示的矩形ABCD,图中共有150个矩形,40个正方形.

答案：
(1)15 $\frac{n(n - 1)}{2}$
(2)①28 ②11
(3)①10 ②$\frac{(m + 2)(m + 1)}{2}$
(4)30
(5)150 40 解析:题图中$AD$上有6个点,可得$AD$上有$\frac{6×5}{2} = 15$(条)线段;$AB$上有5个点,可得$AB$上有$\frac{5×4}{2} = 10$(条)线段.而$AD$上任意一条线段与$AB$上任意一条线段“握手”,都会构成一个矩形,$\therefore$图中共有$15×10 = 150$(个)矩形.$AD$上的线段与$AB$上的线段“握手”时,要构成正方形,就要求“握手”的两条线段必须相等.如表:
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由表可得,共“握手”$20 + 12 + 6 + 2 = 40$(次),即题图中共有40个正方形.
归纳总结
“$C_n^2$模型”问题,即从$n$个元素中任选两个元素的组合数为$\frac{n(n - 1)}{2}$.如:两两握手问题、单循环比赛问题、若干点之间的线段数问题等.