《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2023·海南中考)如图, 在平面直角坐标系中, 点A在y轴上, 点B的坐标为$(6,0)$, 将$\triangle ABO$绕着点B顺时针旋转$60^{\circ}$, 得到$\triangle DBC$, 则点C的坐标是 (B)

A. $(3\sqrt{3},3)$
B. $(3,3\sqrt{3})$
C. $(6,3)$
D. $(3,6)$

答案： B

2. (2023·通辽中考)如图, 在平面直角坐标系中, 已知点$P(0,1)$, 点$A(4,1)$, 以点P为中心, 把点A按逆时针方向旋转$60^{\circ}$得到点B, 在$M_{1}(-1,-\sqrt{3}),M_{2}(-\frac{\sqrt{3}}{3},0),M_{3}(1,\sqrt{3}-1),M_{4}(2,2\sqrt{3})$四个点中, 直线PB经过的点是 ( )

A. $M_{1}$
B. $M_{2}$
C. $M_{3}$
D. $M_{4}$

答案：
B 解析：
∵点$A(4,1)$，点$P(0,1)$，
∴$PA⊥y$轴，$PA = 4$，由旋转得$∠APB = 60^{\circ}$，$AP = PB = 4$，如图，过点$B$作$BC⊥y$轴于点$C$，
∴$∠BPC = 30^{\circ}$，
∴$BC = 2$，$PC = 2\sqrt{3}$，
∴$B(2,1 + 2\sqrt{3})$，设直线$PB$的函数解析式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}2k + b = 1 + 2\sqrt{3} \\ b = 1 \end{cases}$，
∴$\begin{cases}k = \sqrt{3} \\ b = 1 \end{cases}$，
∴直线$PB$的解析式为$y = \sqrt{3}x + 1$，当$x = -1$时，$y = -\sqrt{3} + 1$，
∴点$M_1(-1,-\sqrt{3})$不在直线$PB$上；当$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$y = \sqrt{3}×(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 = 0$，
∴$M_2(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$在直线$PB$上；当$x = 1$时，$y = \sqrt{3} + 1$，
∴$M_3(1,\sqrt{3} - 1)$不在直线$PB$上；当$x = 2$时，$y = 2\sqrt{3} + 1$，
∴$M_4(2,2\sqrt{3})$不在直线$PB$上。

3. (2023·内蒙古中考)如图, 在平面直角坐标系中, 点B的坐标为$(8,4)$, 连接OB, 将OB绕点O逆时针旋转$90^{\circ}$, 得到$OB'$, 则点$B'$的坐标为______.

答案：
$(-4,8)$ 解析：如图，分别过点$B$，$B'$向$x$轴作垂线，垂足分别为点$M$，$N$。
∵$∠BOB' = 90^{\circ}$，
∴$∠BOM + ∠B'ON = 90^{\circ}$。又
∵$∠BOM + ∠OBM = 90^{\circ}$，
∴$∠B'ON = ∠OBM$。在$Rt△OMB$和$Rt△B'NO$中，$∠OMB = ∠BNO$，$∠OBM = ∠B'ON$，$OB = B'O$，
∴$Rt△OMB≌Rt△B'NO(AAS)$，
∴$B'N = OM = 8$，$ON = BM = 4$，
∴点$B'$的坐标为$(-4,8)$。

4. 原创题 按下列要求作图:
(1)如图①, 把点P绕点O顺时针旋转$45^{\circ}$;
(2)如图②, 以点O为中心, 把线段AB逆时针旋转$90^{\circ}$;
(3)如图③, 以AC的中点O为中心, 把$\triangle ABC顺时针旋转120^{\circ}$;
(4)如图④, $\triangle A'B'C'是将\triangle ABC$绕点O旋转得到的, 点$A',B'$的对应点分别是点A, B, 作出旋转中心O及$\triangle ABC$.

答案：

(1)
(2)
(3)
(4)分别如图①②③④所示。

5. 如图, 矩形OABC在平面直角坐标系中, 矩形各顶点坐标分别为$O(0,0),A(0,6),B(8,6),C(8,0)$. 点$D(0,3)$在OA上, 点$E(4,0)$在OC上, 连接DE, 将$\triangle DOE$绕点O逆时针旋转, 旋转角为$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$, 得到$\triangle D'OE'$, 连接$AD'$, 当$∠AD'O= 90^{\circ}$时.
(1)旋转角$\alpha$等于______度;
(2)求点$D',E'$的坐标.

答案：

(1)60或300 解析：如图①，连接$DD'$。当$∠AD'O = 90^{\circ}$时，$DD' = AD = DO = \frac{1}{2}AO = 3$。
∵$DO = D'O = 3$，
∴$DO = D'O = DD'$，
∴$∠DOD' = 60^{\circ}$，
∴$\alpha = 60^{\circ}$。

如图②，连接$DD''$。当$∠AD''O = 90^{\circ}$时，$DD'' = AD = DO = \frac{1}{2}AO = 3$。
∵$DO = D''O = 3$，
∴$DO = D''O = DD''$，
∴$∠DOD'' = 60^{\circ}$，
∴$\alpha = 300^{\circ}$。
综上，旋转角$\alpha$为$60^{\circ}$或$300^{\circ}$。
(2)如图③，当旋转$60^{\circ}$时，作$D'F⊥x$轴于点$F$，$E'H⊥x$轴于点$H$，
∵$∠AD'O = 90^{\circ}$，$OA = 6$，$OD' = 3$，
∴$∠D'AO = 30^{\circ}$，
∴$∠D'OF = 30^{\circ}$，$∠E'OH = 60^{\circ}$。
∵$OD' = OD = 3$，$OE' = OE = 4$，
∴$D'F = \frac{3}{2}$，$FO = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，$OH = 2$，$E'H = 2\sqrt{3}$，
∴$D'(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$，$E'(2,2\sqrt{3})$。

如图④，当旋转$300^{\circ}$时，比较图③与图④，$D'$与$D''$关于$y$轴对称，$E'$与$E''$关于$x$轴对称，进而得出$D''(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$，$E''(2,-2\sqrt{3})$。综上所述，$D'(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$，$E'(2,2\sqrt{3})$或$D'(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$，$E'(2,-2\sqrt{3})$。