《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 改编题 下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是 (D)
A. $x^{2}+2y+3= 0$
B. $x^{2}+1= (x-2)x$
C. $x-\frac{1}{x}= 0$
D. $\frac{x^{2}-1}{2}= 3$

答案： D

2. 将一元二次方程 $x(3-x)= 5$ 化为一元二次方程的一般形式, 其中二次项系数为 1, 一次项系数和常数项分别是 (D)
A. 3,5
B. 3,-5
C. -3,-5
D. -3,5

答案： D

3. (1) (2024·深圳中考) 已知一元二次方程 $x^{2}-3x+m= 0$ 的一个根为 1, 则 $m=$2.
(2) (2024·南充中考) 已知 m 是方程 $x^{2}+4x-1= 0$ 的一个根, 则 $(m+5)(m-1)$ 的值为-4.

答案：
(1)2
(2)-4

4. 若方程 $(m-2)x^{2}+\sqrt{m-1} \cdot x= 1$ 是关于 x 的一元二次方程, 则 m 的取值范围是$ m \geq 1 $且$ m \neq 2 $.

答案： $ m \geq 1 $且$ m \neq 2 $

5. 原创题 下列关于 x 的方程: ① $\frac{1}{a}x^{2}+\frac{1}{b}x+\frac{1}{c}= 0$ (a,b,c 均不为 0); ② $\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}= 1$; ③ $\sqrt{x^{2}-1}= 2$; ④ $a^{2}x^{2}+bx+x^{2}= 0$; ⑤ $x^{3}+x-5= x(x^{2}-3x)$. 其中是一元二次方程的有①④⑤(填序号).

答案： ①④⑤
归纳总结
判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式);②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为 2. 注意“整式方程”是指原方程是整式方程,而不是指化简之后;“只含有一个未知数,且未知数的最高次数为 2”是对方程化简之后而言的.

6. 教材 P3 例题变式 将下列一元二次方程化为一般形式, 并写出二次项系数、一次项系数和常数项(要求二次项系数为正整数).
(1) $2(3x+2)= 3x(x+2)$;
一般形式为$ 3x^{2}-4 = 0 $，二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是-4.
(2) $2(y+1)(1-y)= \frac{1}{3}(y-3)^{2}$.
一般形式为$ 7y^{2}-6y + 3 = 0 $，二次项系数是7，一次项系数是-6，常数项是3.
易错提醒
一元二次方程的一般形式不是唯一的,只是我们习惯上把二次项系数化为正整数,且方程的各项按未知数降幂的顺序排列.$ x^{2}-2x + 1 = 0 $和$ 2x^{2}-4x + 2 = 0 $是同一个方程($ y = x + 1 $和$ y = 2x + 2 $是不同的函数).

答案：
(1)$ 3x^{2}-4 = 0 $,二次项系数是 3,一次项系数是 0,常数项是-4.
(2)$ 7y^{2}-6y + 3 = 0 $,二次项系数是 7,一次项系数是-6,常数项是 3.
易错提醒
一元二次方程的一般形式不是唯一的,只是我们习惯上把二次项系数化为正整数,且方程的各项按未知数降幂的顺序排列.$ x^{2}-2x + 1 = 0 $和$ 2x^{2}-4x + 2 = 0 $是同一个方程($ y = x + 1 $和$ y = 2x + 2 $是不同的函数).

7. 教材 P4 综合运用变式 根据问题列出一元二次方程, 并化为一般形式.
(1) 一个直角三角形的斜边长为 $2\sqrt{10}$, 两条直角边相差 2, 求两条直角边的长.
解：设较长的直角边长为 x,由题意得$ x^{2}+(x - 2)^{2}=(2\sqrt{10})^{2} $,一般形式为$ x^{2}-2x - 18 = 0 $.
(2) 某毕业班的同学每两人互赠了一张照片, 全班同学共赠送了 1 122 张照片, 求该班的人数.
解：设该班有 x 人,由题意得$ x(x - 1)=1122 $,一般形式为$ x^{2}-x - 1122 = 0 $.
(3) 如图①是一本长 26 cm、宽 18.5 cm、厚 1 cm 的数学书. 小明用一张面积为 $1120 cm^{2}$ 的矩形纸 (如图②) 给这本书包书皮, 图中虚线为折痕, 阴影是裁剪掉的部分, 四角均为全等的小正方形, 小正方形的边长即为折叠进去的宽度, 求小正方形的边长.
解：设小正方形的边长为 x cm,由题意得$(18.5×2 + 1 + 2x)(26 + 2x)=1120 $,化为一般形式为$ x^{2}+32x - 33 = 0 $.

答案：
(1)设较长的直角边长为 x,由题意得$ x^{2}+(x - 2)^{2}=(2\sqrt{10})^{2} $,一般形式为$ x^{2}-2x - 18 = 0 $.
(2)设该班有 x 人,由题意得$ x(x - 1)=1122 $,一般形式为$ x^{2}-x - 1122 = 0 $.
归纳总结
单循环问题(握手问题):任意两人(队)之间均有一次互动,则 x 个人(队)的互动总次数为$ \frac{x(x - 1)}{2} $.
双循环问题(主客场比赛):任意两人(队)之间均有两次互动,则 x 个人(队)的互动总次数为$ x(x - 1) $.
(3)$ (18.5×2 + 1 + 2x)(26 + 2x)=1120 $,化为一般形式为$ x^{2}+32x - 33 = 0 $.