《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

9. (1)(2023·广州期中改编)已知$x = m是一元二次方程x^{2}+2x + n - 3 = 0$的一个根,则$m + n$的最大值为$\frac {13}{4}$；$m - n$的最小值为$-\frac {21}{4}$。
(2)当代数式$\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{4}{x}-\frac{4}{y}+1$取最小值时,$x + y$的值是$-1\frac {1}{2}$。

答案：
(1)$\frac {13}{4}$ $-\frac {21}{4}$ 解析：解法一：$\because x=m$是一元二次方程$x^{2}+2x+n-3=0$的一个根，$\therefore m^{2}+2m+n-3=0$，$\therefore n=-m^{2}-2m+3$，$\therefore m+n=m-m^{2}-2m+3=-(m+\frac {1}{2})^{2}+\frac {13}{4}≤\frac {13}{4}$，$\therefore m+n$的最大值为$\frac {13}{4}$。$m-n=m+m^{2}+2m-3=(m+\frac {3}{2})^{2}-\frac {21}{4}≥-\frac {21}{4}$，即$m-n$的最小值为$-\frac {21}{4}$。
解法二：由$m^{2}+2m+n-3=0$，得$m^{2}+m-3+(m+n)=0$，$\therefore m+n=-m^{2}-m+3=-(m+\frac {1}{2})^{2}+\frac {13}{4}≤\frac {13}{4}$，$\therefore m+n$的最大值为$\frac {13}{4}$。$-n=m^{2}+2m-3$，$m-n=m^{2}+3m-3=(m+\frac {3}{2})^{2}-\frac {21}{4}≥-\frac {21}{4}$。$\therefore m-n$的最小值为$-\frac {21}{4}$。
(2)$-1\frac {1}{2}$

10. (2024·成都期中)新定义：关于$x的一元二次方程a_{1}(x - c)^{2}+k = 0与a_{2}(x - c)^{2}+k = 0$称为“同族二次方程”,例如：$5(x - 6)^{2}+7 = 0与6(x - 6)^{2}+7 = 0$是“同族二次方程”。现有关于$x的一元二次方程(m + 2)x^{2}+(n - 4)x + 8 = 0与2(x - 1)^{2}+1 = 0$是“同族二次方程”,则代数式$mx^{2}+nx + 2030$的最小值是______2025。

答案： 2025 解析：
∵关于x的一元二次方程$(m+2)x^{2}+(n-4)x+8=0$与$2(x-1)^{2}+1=0$是“同族二次方程”，$\therefore (m+2)x^{2}+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)^{2}+1$，$\therefore (m+2)x^{2}+(n-4)x+8=(m+2)x^{2}-2(m+2)x+m+3$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} -2(m+2)=n-4,\\ m+3=8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=5,\\ n=-10,\end{array}\right. $$\therefore mx^{2}+nx+2030=5x^{2}-10x+2030=5(x-1)^{2}+2025$。$\because 5(x-1)^{2}+2025≥2025$，$\therefore$代数式$mx^{2}+nx+2030$的最小值是2025。

11. 已知$a$,$b$,$c满足a^{2}+2b = 7$,$b^{2}-2c = -1$,$c^{2}-6a = -17$,则$a + b + c$的值为(B)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B

12. (天津中考)若实数$x$,$y$,$z满足(x - z)^{2}-4(x - y)(y - z)= 0$,则下列式子一定成立的是(D)
A. $x + y + z = 0$
B. $x + y - 2z = 0$
C. $y + z - 2x = 0$
D. $z + x - 2y = 0$

答案： D

13. 改编题 已知$a$,$b$,$c$为正实数,且满足$a^{2}+ac + ab - b^{2}= 0和b^{2}+ba - ca - c^{2}= 0$,则以$b$,$c$,$a + b$为三边长的三角形的具体形状为(C)
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形

答案： C

14. 同一段铁丝,若分成相等的四段,可围成正方形,若分成相等的五段,可围成正五边形,其中正方形的边长为$(a^{2}-ab+\frac{1}{2}b^{2})\text{m}$,正五边形的边长为$(2b - 5)\text{m}$,则这段铁丝的总长是______25$\text{m}$。

答案： 25

15. (1)(泰州中考)已知$3x - y = 3a^{2}-6a + 9$,$x + y = a^{2}+6a - 9$,若$x\leq y$,则实数$a$的值为3。
(2)已知$a - b = 2$,$ab + 2b - c^{2}+2c = 0$,当$b\geq0$,$-2\leq c\lt1$时,整数$a$的值是2或3。

答案：
(1)3
(2)2或3

16. 阅读材料：
把$x^{4}+4$分解因式。
分析：这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和$(x^{2})^{2}+2^{2}$的形式,要使用公式就必须添一项$4x^{2}$,随即将此项$4x^{2}$减去,即可得$x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}= (x^{2}+2x + 2)(x^{2}-2x + 2)$。
这种解法就叫做“热门定理”,请你依照苏菲·热门的做法,将下列各式因式分解。
(1)$4x^{4}+y^{4}$；原式$=4x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}=(2x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(2x^{2}+y^{2}+2xy)(2x^{2}+y^{2}-2xy)$
(2)$x^{2}-2ax - b^{2}+2ab$；原式$=x^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab=(x-a)^{2}-(a-b)^{2}=(x-b)(x-2a+b)$
(3)$(m^{2}-1)(n^{2}-1)+4mn$。原式$=(m^{2}n^{2}+2mn+1)-(n^{2}-2nm+m^{2})=(mn+1)^{2}-(n-m)^{2}=(mn+1+n-m)(mn+1-n+m)$

答案：
(1)原式$=4x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}=(2x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(2x^{2}+y^{2}+2xy)(2x^{2}+y^{2}-2xy)$。
(2)原式$=x^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab=(x-a)^{2}-(a-b)^{2}=(x-b)(x-2a+b)$。
(3)原式$=(m^{2}n^{2}+2mn+1)-(n^{2}-2nm+m^{2})=(mn+1)^{2}-(n-m)^{2}=(mn+1+n-m)(mn+1-n+m)$。

17. 化简$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$的结果是$\sqrt {5}-1$。

答案： $\sqrt {5}-1$ 解析：$\sqrt {6-2\sqrt {5}}=\sqrt {5-2\sqrt {5}+1}=\sqrt {(\sqrt {5}-1)^{2}}=\sqrt {5}-1$。

18. (成都中考)设$S_{1}= 1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}$,$S_{2}= 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}$,$S_{3}= 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$,…,$S_{n}= 1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}$,设$S= \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+…+\sqrt{S_{n}}$,则$S = $$\frac {n^{2}+2n}{n+1}$。(用含$n$的代数式表示,其中$n$为正整数)

答案： $\frac {n^{2}+2n}{n+1}$ 解析：$\because S_{n}=1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}=\frac {n^{2}(n+1)^{2}+n^{2}+2n+1+n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac {n^{2}(n+1)^{2}+2n(n+1)+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac {[n(n+1)+1]^{2}}{[n(n+1)]^{2}}$，$\therefore \sqrt {S_{n}}=\frac {n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac {1}{n(n+1)}=1+\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}$，$\therefore S=(1+1-\frac {1}{2})+(1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+... +(1+\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1})=n+1-\frac {1}{n+1}=\frac {n^{2}+2n}{n+1}$。