《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

11. 已知直线$l:y= x-4$,点$A(0,2)$,点$B(2,0)$,设点P为直线l上一动点,若过P,A,B三点不能作出一个圆,则点P的坐标为____(3,-1).

答案： $(3,-1)$

12. (1)已知$\odot O的直径AB= 4$,半径$OC\perp AB$,在射线OB上有一点D,且点D与$\odot O$上各点的最短距离为1,则$CD= $____;
(2)若点O是等腰$\triangle ABC$的外心,且$∠BOC= 60^{\circ}$,底边$BC= 2$,则$\triangle ABC$的面积为____.

答案：

(1) $\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$ 解析：
∵点D与$\odot O$上各点所连接线段的最短距离为1，
∴$BD = 1$。当点D在$\odot O$外时(如图①中点D)，$OD = 3$，$CD=\sqrt{13}$；当点D在$\odot O$内时(如图①中点$D'$)，$OD' = 1$，$CD'=\sqrt{5}$。
∴CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
　　
(2) $2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$ 解析：如图②，存在两种情况：当$\triangle ABC$为$\triangle A_1BC$时，
∵点O是等腰$\triangle A_1BC$的外心，且$\angle BOC = 60^{\circ}$，$BC = 2$，$OB = OC$，
∴$\triangle OBC$为等边三角形，$OB = OC = BC = 2$。设$OA_1\perp BC$于点D，
∴$CD = 1$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$S_{\triangle A_1BC}=\frac{1}{2}BC\cdot A_1D=\frac{1}{2}\times2\times(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$；当$\triangle ABC$为$\triangle A_2BC$时，$S_{\triangle A_2BC}=\frac{1}{2}\times2\times(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。综上，$\triangle ABC$的面积为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$。

13. (河北中考)如图,$∠A= ∠B= 50^{\circ}$,点P为AB的中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP并延长,使MP的延长线交射线BD于点N,设$∠BPN= \alpha$.
(1)求证:$\triangle APM\cong \triangle BPN$;
证明：∵点P是AB的中点，∴$PA = PB$。在$\triangle APM$和$\triangle BPN$中，$\begin{cases}\angle A=\angle B,\\PA = PB,\\\angle APM=\angle BPN,\end{cases}$ ∴$\triangle APM\cong\triangle BPN$(ASA)。
(2)当$MN= 2BN$时,求α的度数;
解：由(1)得，$\triangle APM\cong\triangle BPN$，∴$PM = PN$，∴$MN = 2PN$。∵$MN = 2BN$，∴$BN = PN$，∴$\alpha=$50°。
(3)若$\triangle BPN$的外心在该三角形的内部,写出α的取值范围.
解：∵$\triangle BPN$的外心在该三角形的内部，∴$\triangle BPN$是锐角三角形。∵$\angle B = 50^{\circ}$，∴40°＜α＜90°。

答案：
(1)
∵点P是AB的中点，
∴$PA = PB$。在$\triangle APM$和$\triangle BPN$中，$\begin{cases}\angle A=\angle B,\\PA = PB,\\\angle APM=\angle BPN,\end{cases}$
∴$\triangle APM\cong\triangle BPN(ASA)$。
(2)由
(1)得，$\triangle APM\cong\triangle BPN$，
∴$PM = PN$，
∴$MN = 2PN$。
∵$MN = 2BN$，
∴$BN = PN$，
∴$\alpha=\angle B = 50^{\circ}$。
(3)
∵$\triangle BPN$的外心在该三角形的内部，
∴$\triangle BPN$是锐角三角形。
∵$\angle B = 50^{\circ}$，
∴$40^{\circ}＜\angle BPN＜90^{\circ}$，即$40^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$。

14. 如图,抛物线$y= \frac{1}{4}x^{2}-4$与x轴交于A,B两点,P是以点$C(0,3)$为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ,则线段OQ的最大值是____.

答案：
$\frac{7}{2}$ 解析：连接BP，如图，令$y = 0$，得$x_1 = 4$，$x_2 = -4$，则$A(-4,0)$，$B(4,0)$。
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为$\triangle ABP$的中位线，
∴$OQ=\frac{1}{2}BP$。当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，即点P在$P'$位置时OQ最大。
∵$BC = 5$，
∴$BP' = 5 + 2 = 7$，
∴线段OQ的最大值是$\frac{7}{2}$。

归纳总结
点圆最值问题：平面内一点P，到$\odot O$上的点的最大距离为PA，最小距离为PB；设最大距离为m，最小距离为n，点P在圆外时(如图①)，圆的直径是$m - n$，点P在圆内时(如图②)，圆的直径为$m + n$。
　　　

15. (1)如图①,在$\triangle ABC$中,$∠A= 120^{\circ},AB= AC= 5$,则$\triangle ABC$的外接圆半径R的值为____.
(2)如图②,$\odot O$的半径为13,弦$AB= 24$,点M是AB的中点,点P是$\odot O$上一动点,则PM的最大值为____.
(3)如图③,AB,AC,$\overset{\frown}{BC}$是某新区的三条规划路,其中$AB= 6,AC= 3,∠BAC= 60^{\circ},\overset{\frown}{BC}所对的圆心角为60^{\circ}$,新区管委会想在$\overset{\frown}{BC}$路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站点E,F,也就是分别在$\overset{\frown}{BC}$、线段AB和线段AC上选取点P,E,F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按$P→E→F→P$的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE,EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE,EF,FP之和最小,则$PE+EF+FP$的最小值为____.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)

答案：

(1)5
(2)18 解析：当$PM\perp AB$，即点P位于$P'$时，PM最大，如图①所示。连接OA，由垂径定理可知，$AM=\frac{1}{2}AB = 12$。
∵$OA = 13$，
∴由勾股定理可知$OM = 5$，
∴$P'M = OM + OP' = 18$。

(3) $3\sqrt{21}-9$ 解析：如图②，设$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心为O，连接AP，OP，分别以AB，AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE，PF，OB，OC，OA，AM，AN，MP，NP，
∴$AM = AP = AN$。
∵$\angle MAB=\angle PAB$，$\angle NAC=\angle PAC$，
∴$\angle BAC=\angle PAB+\angle PAC=\angle MAB+\angle NAC = 60^{\circ}$，
∴$\angle MAN = 120^{\circ}$，
∴M，P，N在以A为圆心，AP长为半径的圆上。设$AP = r$，易求得$MN=\sqrt{3}r$。
∵$PE = ME$，$PF = FN$，
∴$PE + EF + PF = ME + EF + FN = MN=\sqrt{3}r$，
∴当AP最小时，$PE + EF + PF$可取得最小值。
∵$AP + OP\geqslant OA$，
∴$AP\geqslant OA - OP$，即点P在OA上时(如图③)，AP可取得最小值，设AB的中点为Q(如图④)，
∴$AQ = AC = 3$。
∵$\angle BAC = 60^{\circ}$，
∴$AQ = QC = AC = BQ = 3$，
∴$\angle ABC=\angle QCB = 30^{\circ}$，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$。由勾股定理可知，$BC = 3\sqrt{3}$。
∵$\angle BOC = 60^{\circ}$，$OB = OC$，
∴$\triangle OBC$是等边三角形，
∴$\angle OBC = 60^{\circ}$，
∴$\angle ABO = 90^{\circ}$，由勾股定理可知$OA = 3\sqrt{7}$。
∵$OP = OB = 3\sqrt{3}$，
∴$AP = r = OA - OP = 3\sqrt{7}-3\sqrt{3}$，
∴$PE + EF + PF = MN=\sqrt{3}r = 3\sqrt{21}-9$，
∴$PE + EF + PF$的最小值为$3\sqrt{21}-9$。