《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (江西中考) 在同一平面直角坐标系中, 二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = bx + c $ 的图象如图所示, 则二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象可能是 (D)

答案： D

2. (深圳中考) 二次函数 $ y = ax^2 + bx + 1 $ 与一次函数 $ y = 2ax + b $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(A)

答案： A

3. (湖州中考) 已知 $ a,b $ 是非零实数, $ |a| ＞ |b| $, 在同一平面直角坐标系中, 二次函数 $ y_1 = ax^2 + bx $ 与一次函数 $ y_2 = ax + b $ 的大致图象不可能是 (D)

答案： D

4. (2024·日照中考) 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 图象的一部分如图所示, 该函数图象经过点 $ (-1,0) $, 对称轴为直线 $ x = 2 $. 对于下列结论: ① $ abc ＜ 0 $; ② $ a + c = b $; ③多项式 $ ax^2 + bx + c $ 可因式分解为 $ (x + 1)(x - 5) $; ④当 $ m ＞ -9a $ 时, 关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 无实数根. 其中正确结论的个数有 (C)

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： C

5. (2024·泰安中考) 如图所示是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 的部分图象, 该函数图象的对称轴是直线 $ x = 1 $, 图象与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 2, 则下列结论: ① $ 2a + b = 0 $; ②方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间; ③方程 $ ax^2 + bx + c - \frac{3}{2} = 0 $ 一定有两个不相等的实数根; ④ $ b - a ＜ 2 $. 其中, 正确结论的个数有 (B)

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： B

6. (2023·丹东中考) 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ A(-3,0) $, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, 点 $ D $ 是抛物线的顶点, 对称轴为直线 $ x = -1 $, 其部分图象如图所示, 则以下 4 个结论: ① $ abc ＞ 0 $; ② $ E(x_1,y_1) $, $ F(x_2,y_2) $ 是抛物线 $ y = ax^2 + bx $ ($ a \neq 0 $) 上的两个点, 若 $ x_1 ＜ x_2 $, 且 $ x_1 + x_2 ＜ -2 $, 则 $ y_1 ＜ y_2 $; ③在 $ x $ 轴上有一动点 $ P $, 当 $ PC + PD $ 的值最小时, 则点 $ P $ 的坐标为 $ (-\frac{3}{7},0) $; ④若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + b(x - 2) + c = -4 $ ($ a \neq 0 $) 无实数根, 则 $ b $ 的取值范围是 $ b ＜ 1 $. 其中正确的结论有 (A)

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： A 解析:由题图可知,该抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,与y轴交于负半轴,$\therefore a＞0,b＞0,c＜0,\therefore abc＜0$,故①不正确,不符合题意;
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+c$向上平移$|c|$个单位长度得到抛物线$y=ax^{2}+bx,\therefore$ 抛物线$y=ax^{2}+bx$的对称轴也为直线$x=-1.\because x_{1}+x_{2}＜-2,\therefore \frac {x_{1}+x_{2}}{2}＜-1.\because x_{1}\lt x_{2},\therefore E(x_{1},y_{1})$离对称轴的距离大于$F(x_{2},y_{2})$离对称轴的距离.
∵二次函数图象开口向上,离对称轴越远函数值越大,$\therefore y_{1}＞y_{2}$,故②不正确,不符合题意;作点C关于x轴对称的对应点$C'$,连接$C'D$,交x轴于点P,把$A(-3,0)$代入$y=ax^{2}+bx+c$得,$0=9a-3b+c$,
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=-1,\therefore -\frac {b}{2a}=-1$,则$b=2a,\therefore 0=9a-6a+c$,整理得,$c=-3a,\therefore C(0,-3a)$,则$C'(0,3a)$,把$x=-1$代入$y=ax^{2}+bx+c$得,$y=a-b+c=a-2a-3a=-4a,\therefore D(-1,-4a)$,设直线$C'D$的函数解析式为$y=mx+n$,把$C'(0,3a),D(-1,-4a)$的坐标代入得,$\left\{\begin{array}{l} 3a=n,\\ -4a=-m+n,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=7a,\\ n=3a,\end{array}\right. $$\therefore$ 直线$C'D$的函数解析式为$y=7ax+3a$,把$y=0$代入得,$0=7ax+3a$,解得$x=-\frac {3}{7},\therefore P(-\frac {3}{7},0)$,故③正确,符合题意;方程$ax^{2}+b(x-2)+c=-4(a≠0)$整理为$ax^{2}+bx+c=2b-4,\because D(-1,-4a),\therefore$ 当$2b-4＜-4a$时,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与直线$y=2b-4$没有交点,则原方程无实数根.$\because b=2a,\therefore 2b-4＜-2$,解得$b＜1.\because b＞0,\therefore b$的取值范围为$0\lt b＜1$,故④不正确,不符合题意.综上,正确的只有③,1个.