《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

18. (12分)(南宁中考)如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长为100米,宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.
(1)用含a的式子表示花圃的面积；4a² - 320a + 6000
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{1}{4}$,求出此时通道的宽；5米
(3)已知某园林公司修建通道的单价是每平方米50元,修建花圃的造价y(元)与花圃的修建面积S(平方米)之间的函数关系如图②所示,并且通道宽a(米)的值能使关于x的方程$\frac{1}{4}x^{2}-ax+25a-150= 0$有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米,如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元.318000元

答案：
(1) 由题图可知，花圃的面积为 $ ( 100 - 2 a ) \cdot ( 60 - 2 a ) = ( 4 a ^ { 2 } - 320 a + 6 000 ) $ 平方米．
(2) 由已知可列式为 $ 100 × 60 - ( 100 - 2 a ) \cdot ( 60 - 2 a ) = \frac { 1 } { 4 } × 100 × 60 $，解得 $ a _ { 1 } = 5 , a _ { 2 } = 75 $（舍去），
∴ 通道的宽为 5 米．
(3)
∵ 方程 $ \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - a x + 25 a - 150 = 0 $ 有两个相等的实数根，
∴ $ \Delta = a ^ { 2 } - 25 a + 150 = 0 $，解得 $ a _ { 1 } = 10 , a _ { 2 } = 15 $．
∵ $ 5 \leq a \leq 12 $，
∴ $ a = 10 $．
设修建花圃的造价为 $ y $ 元，由题图②知 $ y = 55.625 S $．当 $ a = 10 $ 时，$ S _ { 花圃 } = ( 100 - 2 × 10 ) × ( 60 - 2 × 10 ) = 3 200 $（平方米），$ y _ { 花圃 } = 3 200 × 55.625 = 178 000 $（元），$ S _ { 通道 } = 100 × 60 - 3 200 = 2 800 $（平方米），$ y _ { 通道 } = 2 800 × 50 = 140 000 $（元），造价和为 $ 178 000 + 140 000 = 318 000 $（元）．

19. (12分)【引入命题】设$A(x)$是关于字母x的一个整式,若$x_{1}是方程A(x)= 0$的一个根,则整式$A(x)必有一个因式(x-x_{1})$,即$A(x)= (x-x_{1})A_{1}(x)$.其中$A_{1}(x)$仍然是关于字母x的一个整式.
(1)若$A(x)= (x-2)A_{1}(x)$,则$A(x)= 0$的一个根是______$x=2$.
【回归课本】设一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0有两个根x_{1}$,$x_{2}$,则方程可化为$a(x-x_{1})(x-x_{2})= 0$,即$ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}= 0$,与原方程比较系数,可得到一元二次方程根与系数的关系：$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$.
(2)利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2= 0$有两个不相等的实数根,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 2$,求实数m的值.3
【探究引申】设一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx+d= 0有三个根x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,则原方程可化为$a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})= 0$,试着展开上式,然后比较系数,可以得到根与系数的关系：$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}= \frac{c}{a}$,$x_{1}·x_{2}·x_{3}= -\frac{d}{a}$.
(3)利用上式结论解题：已知方程$x^{3}-4x^{2}+3x+d= 0有三个根\alpha$,$\beta$,$\gamma$,求$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$的值.10
【拓展提高】
(4)利用以上规律探究：若方程$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_{n}= 0(a_{0}≠0)$有n个根$x_{1}$,$x_{2}$,…,$x_{n}$,则$x_{1}+x_{2}+…+x_{n}= $______$-\frac{a_{1}}{a_{0}}$,$x_{1}·x_{2}·…·x_{n}= $______$(-1)^{n}\frac{a_{n}}{a_{0}}$.

答案：
(1) $ x = 2 $
(2) 根据题意得关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } - m + 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根，
∴ $ \Delta = ( 2 m ) ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } - m + 2 ) ＞ 0 $，解得 $ m ＞ 2 $，由根与系数的关系得 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = - 2 m , x _ { 1 } x _ { 2 } = m ^ { 2 } - m + 2 $．
∵ $ x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } = 2 $，
∴ $ - 2 m + m ^ { 2 } - m + 2 = 2 $，解得 $ m _ { 1 } = 0 $（不合题意，舍去），$ m _ { 2 } = 3 $，
∴ $ m $ 的值为 3．
(3) 已知方程 $ x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + d = 0 $ 有三个根 $ \alpha , \beta , \gamma $，
∴ $ a = 1 $，$ b = - 4 , c = 3 $，
∴ $ \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } = ( \alpha + \beta + \gamma ) ^ { 2 } - 2 ( \alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma ) = \left( - \frac { b } { a } \right) ^ { 2 } - 2 \cdot \frac { c } { a } = \frac { b ^ { 2 } - 2 a c } { a ^ { 2 } } = 10 $，即 $ \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } = 10 $．
(4) $ - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 0 } } $ $ ( - 1 ) ^ { n } \frac { a _ { n } } { a _ { 0 } } $ 解析：由题意得方程 $ a _ { 0 } x ^ { n } + a _ { 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { n - 1 } x + a _ { n } = 0 ( a _ { 0 } \neq 0 ) $ 有 $ n $ 个根 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } $，因式分解：$ a _ { 0 } x ^ { n } + a _ { 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { n - 1 } x + a _ { n } = a _ { 0 } ( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 2 } ) \cdot \cdots \cdot ( x - x _ { n } ) = a _ { 0 } [ x ^ { n } - ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + \cdots + x _ { n } ) x ^ { n - 1 } + ( x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 4 } + \cdots + x _ { n - 1 } x _ { n } ) x ^ { n - 2 } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } ( x _ { 1 } x _ { 2 } \cdot \cdots \cdot x _ { n } ) ] $，
∴ $ x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } = - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 0 } } , x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } \cdot \cdots \cdot x _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } \frac { a _ { n } } { a _ { 0 } } $．