《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

14. 关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,有下列命题：①若$a+b+c= 0$,则$b^{2}-4ac≥0$；②若方程$ax^{2}+c= 0$有两个不相等的实根,则方程$ax^{2}+\sqrt{5}x+c= 0$必有两个不相等的实根；③若c是方程$ax^{2}+bx+c= 0$的一个根,则一定有$ac+b+1= 0$成立；④若$x_{0}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的根,则$b^{2}-4ac= (2ax_{0}+b)^{2}$.其中是真命题的有______①②④.(填序号)

答案： ①②④

15. (12分)按要求解下列方程.
(1)$2(x-3)= 3x(x-3)$(因式分解法)；$ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } $
(2)$x^{2}-x= 3x-1$(配方法)；$ x _ { 1 } = 2 + \sqrt { 3 } , x _ { 2 } = 2 - \sqrt { 3 } $
(3)$2(x-1)^{2}-3x+1= 0$(公式法).$ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $

答案：
(1) $ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } $
(2) $ x _ { 1 } = 2 + \sqrt { 3 } , x _ { 2 } = 2 - \sqrt { 3 } $
(3) $ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $

16. (8分)(衡阳中考)关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+k= 0$有实数根.
(1)求k的取值范围；$ k \leq \frac { 9 } { 4 } $
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m-1)x^{2}+x+m-3= 0与方程x^{2}-3x+k= 0$有一个相同的根,求此时m的值.$ \frac { 3 } { 2 } $

答案：
(1) 根据题意得 $ \Delta = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 k \geq 0 $，解得 $ k \leq \frac { 9 } { 4 } $．
(2) 由
(1) 可得 $ k $ 的最大整数值为 2，代入方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + k = 0 $ 得 $ x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = 2 $．
∵ 一元二次方程 $ ( m - 1 ) x ^ { 2 } + x + m - 3 = 0 $ 与方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + k = 0 $ 有一个相同的根，
∴ 当 $ x = 1 $ 时，$ m - 1 + 1 + m - 3 = 0 $，解得 $ m = \frac { 3 } { 2 } $；当 $ x = 2 $ 时，$ 4 ( m - 1 ) + 2 + m - 3 = 0 $，解得 $ m = 1 $．而 $ m - 1 \neq 0 $，
∴ $ m $ 的值为 $ \frac { 3 } { 2 } $．

17. (8分)阅读理解题.
定义：如果一个数i的平方等于-1,记为$i^{2}= -1$,那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如$a+bi$(a,b为实数)的数叫做复数,a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加法、减法、乘法运算与整式类似.
读完这段文字,请你解答以下问题：
(1)填空：$i^{3}=$-i,$i^{4}=$1,$i^{2}+i^{3}+i^{4}+…+i^{1001}=$0.
(2)已知$(a+i)(b+i)= 1-3i$,写出一个以a,b的值为解的一元二次方程.
(3)在复数范围内解方程：$x^{2}-4x+8= 0$.

答案：
(1) -i 1 0
(2)
∵ $ ( a + i ) ( b + i ) = 1 - 3 i $，
∴ $ a b + a i + b i + i ^ { 2 } = 1 - 3 i $，$ a b - 1 + ( a + b ) i = 1 - 3 i $，
∴ $ a b - 1 = 1 , a + b = - 3 $，
∴ $ a b = 2 $，
∴ 以 $ a , b $ 的值为解的一元二次方程可以是 $ x ^ { 2 } + 3 x + 2 = 0 $（答案不唯一）．
(3)
∵ $ x ^ { 2 } - 4 x + 8 = 0 $，
∴ $ x ^ { 2 } - 4 x = - 8 $，
∴ $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 4 i ^ { 2 } $，
∴ $ x - 2 = \pm 2 i $，
解得 $ x _ { 1 } = 2 + 2 i , x _ { 2 } = 2 - 2 i $．