《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

8. 一元二次方程$(x+1)(x-3)= 2x-5$根的情况是 (D)
A. 无实数根
B. 有一个正根,一个负根
C. 有两个正根,且都小于3
D. 有两个正根,且有一根大于3

答案： D

9. (扬州中考)已知$M= \frac{2}{9}a-1,N= a^{2}-\frac{7}{9}a$(a为任意实数),则M,N的大小关系为 (A)
A. $M＜N$
B. $M= N$
C. $M＞N$
D. 不能确定

答案： A

10. 一题多解已知方程$x^{2}-5x+q= 0$可以配方成$(x-p)^{2}= 9$的形式,那么$x^{2}+5x+q= -1$可以配方成 (B)
A. $(x+p+1)^{2}= 10$
B. $(x+p)^{2}= 8$
C. $(x+p-1)^{2}= 8$
D. $(x+p)^{2}= 10$

答案： B

11. (凉山州中考改编)若关于x的方程$x^{2}+2x-3= 0与\frac{2}{x+3}= \frac{1}{x-a}$有一个解相同,则$a=$-1.

答案： -1 解析：由 $x^{2}+2x-3=0$，解得 $x_{1}=1,x_{2}=-3$。
∵ 方程 $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-a}$ 中 $x≠-3$，
∴ $x=1$ 是方程 $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-a}$ 的解，代入方程解得 $a=-1$。

12. 已知点$(5-k^{2},2k+3)$在第四象限内,且在其角平分线上,则$k=$-2.

答案： -2

13. (2024·内江月考)对于实数a,b,定义$min\{ a,b\}$的含义为:当$a≥b$时,$min\{ a,b\} = b$;当$a＜b$时,$min\{ a,b\} = a$.若$min\{ 40,12m-4n-m^{2}-n^{2}\} = 40$,则$m^{n}$的值等于____$\frac{1}{36}$.

答案： $\frac{1}{36}$ 解析：
∵ $min|40,12m-4n-m^{2}-n^{2}|=40$，
∴ $40≤12m-4n-m^{2}-n^{2}$，
∴ $m^{2}+n^{2}+4n-12m+40≤0$，
∴ $(m-6)^{2}+(n+2)^{2}≤0$。
∵ $(m-6)^{2}+(n+2)^{2}≥0$，
∴ $m-6=0,n+2=0$，
∴ $m=6,n=-2$，
∴ $m^{n}=6^{-2}=\frac{1}{36}$。

14. 一题多变 原创题根据$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$解决问题:
(1)若$x^{2}-8x+m$是关于x的完全平方式,则$m=$16;
(2)若$x^{2}+(n-1)x+25$是关于x的完全平方式,则$n=$11 或 -9;
(3)若方程$9x^{2}-(k+2)x+4= 0$的左边可以写成一个完全平方式,求k的值;$k=-14$或$k=10$
(4)若方程$(p-2)x^{2}-px+2= 0$有两个相等的实数根,求p的值.$p=4$
归纳总结
若 $ax^{2}+bx+c$ 是一个完全平方式，则$b^{2}=4ac$。
证明：设 $ax^{2}+bx+c=(mx+n)^{2}$，$m$，$n$ 是常数，则 $ax^{2}+bx+c=m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}$，∴ $a=m^{2}$，$b=2mn$，$c=n^{2}$，∴ $b^{2}=4m^{2}n^{2}=4ac$。

答案：
(1) 16
(2) 11 或 -9
(3) 解法一：方程 $9x^{2}-(k+2)x+4=0$ 整理得 $x^{2}-\frac{k+2}{9}x+\frac{4}{9}=0$，
∴ $(-\frac{k+2}{9}×\frac{1}{2})^{2}=\frac{4}{9}$，解得 $k=-14$ 或 $k=10$。解法二：方程的左边 $9x^{2}-(k+2)x+4$ 变形为 $(\pm 3x)^{2}-(k+2)x+(\pm 2)^{2}$，
∴ $-(k+2)x=2·(\pm 3x)·(\pm 2)=\pm 12x$，即 $-(k+2)=12$ 或 $-(k+2)=-12$，解得 $k=-14$ 或 $k=10$。
(4)
∵ 方程 $(p-2)x^{2}-px+2=0$ 有两个相等的实数根，
∴ 方程的左边可以配成完全平方式，
∴ $(-\frac{p}{p-2}×\frac{1}{2})^{2}=\frac{2}{p-2}$，
∴ $p$ 的值为 4。
归纳总结
若 $ax^{2}+bx+c$ 是一个完全平方式，则 $b^{2}=4ac$。
证明：设 $ax^{2}+bx+c=(mx+n)^{2}$，$m$，$n$ 是常数，则 $ax^{2}+bx+c=m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}$，
∴ $a=m^{2}$，$b=2mn$，$c=n^{2}$，
∴ $b^{2}=4m^{2}n^{2}=4ac$。

15. 改编题阅读例题,然后解决问题.
若$x^{2}+2x+y^{2}-6y+10= 0$,求x,y的值.
解:$\because x^{2}+2x+y^{2}-6y+10= 0可变形为x^{2}+2x+1+y^{2}-6y+9= 0,\therefore (x+1)^{2}+(y-3)^{2}= 0,\therefore (x+1)^{2}= 0,(y-3)^{2}= 0,\therefore x= -1,y= 3$.
(1)已知$x^{2}+y^{2}+x-6y+\frac{37}{4}= 0$,求$x^{y}$的值.$-\frac{1}{8}$
(2)已知$\triangle ABC$的三边长a,b,c都是正整数.
①若$a^{2}+b^{2}+c^{2}= ab+ac+bc$,求$\triangle ABC$的形状;等边三角形
②若$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11= 0$,则$\triangle ABC$的周长为____7.
(3)①代数式$5x^{2}-4xy+y^{2}+6x+25$的最小值为____16;
②当x,y为何值时,代数式$-x^{2}+2xy-2y^{2}+6y+7$取得最大值,最大值为多少?当$x=y=3$时，代数式取得最大值，最大值为16

答案：
(1) $x^{2}+y^{2}+x-6y+\frac{37}{4}=0$ 可变形为 $x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}-6y+9=0$，即 $(x+\frac{1}{2})^{2}+(y-3)^{2}=0$，
∴ $x+\frac{1}{2}=0$，$y-3=0$，即 $x=-\frac{1}{2}$，$y=3$。
∴ $x^{y}=(-\frac{1}{2})^{3}=-\frac{1}{8}$。
(2) ①
∵ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$，
∴ $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc=0$，
∴ $a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}=0$，即 $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，
∴ $a=b=c$，
∴ $\triangle ABC$ 为等边三角形。 ② 7 解析：$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$ 可变形为 $(\sqrt{2}a)^{2}-4a+(\sqrt{2})^{2}+b^{2}-6b+9=0$，即 $(\sqrt{2}a-\sqrt{2})^{2}+(b-3)^{2}=0$，
∴ $\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0$，$b-3=0$，即 $a=1$，$b=3$，由三角形的三边关系，得 $2＜c＜4$。又
∵ $a$，$b$，$c$ 都是正整数，
∴ $c=3$，
∴ $\triangle ABC$ 的周长是 $3+3+1=7$。
(3) ① 16 解析：$5x^{2}-4xy+y^{2}+6x+25=4x^{2}-4xy+y^{2}+x^{2}+6x+9+16=(2x-y)^{2}+(x+3)^{2}+16$，而 $(2x-y)^{2}+(x+3)^{2}≥0$，由 $\begin{cases}2x-y=0\\x+3=0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x=-3\\y=-6\end{cases}$，
∴ 当 $x=-3$，$y=-6$ 时，代数式 $5x^{2}-4xy+y^{2}+6x+25$ 取得最小值，最小值是 16。 ② $-x^{2}+2xy-2y^{2}+6y+7=-(x^{2}-2xy+y^{2})-(y^{2}-6y+9)+9+7=-(x-y)^{2}-(y-3)^{2}+16$。
∵ $(x-y)^{2}≥0$，$(y-3)^{2}≥0$，
∴ $-(x-y)^{2}-(y-3)^{2}+16≤16$，
∴ 当 $\begin{cases}x-y=0\\y-3=0\end{cases}$，即 $x=y=3$ 时，$-x^{2}+2xy-2y^{2}+6y+7$ 取得最大值，最大值为 16。