《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

4. (江西中考) $ AB $ 为半圆的直径,点 $ O $ 为圆心, $ AF $ 为半圆的切线,过半圆上的点 $ C $ 作 $ CD // AB $ 交 $ AF $ 于点 $ D $,连接 $ BC $.
(1)如图①,连接 $ DO $,若 $ BC // OD $,求证: $ CD $ 是半圆的切线;
(2)如图②,当线段 $ CD $ 与半圆交于点 $ E $ 时,连接 $ AE $, $ AC $,判断 $ \angle AED $ 和 $ \angle ACD $ 的数量关系,并证明你的结论.

答案：

(1) 如图①，连接 OC，$\because AF$ 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，$\therefore AB \perp AD$。$\because CD // AB$，$BC // OD$，$\therefore$ 四边形 BODC 是平行四边形，$\therefore OB = CD$。$\because OA = OB$，$\therefore CD = OA$。又 $CD // OA$，$\therefore$ 四边形 ADCO 是平行四边形。$\because AB \perp AD$，$\therefore$ 平行四边形 ADCO 是矩形，$\therefore OC \perp CD$，$\therefore CD$ 是半圆的切线。
　　
(2) $ \angle AED + \angle ACD = 90^{\circ}$。证明：如图②，连接 BE，$\because AB$ 为半圆的直径，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle EBA + \angle BAE = 90^{\circ}$。$\because AB \perp AD$，$\therefore \angle DAE + \angle BAE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABE = \angle DAE$。$\because \angle ACE = \angle ABE$，$\therefore \angle ACE = \angle DAE$。$\because CD // AB$，$AB \perp AD$，$\therefore CD \perp AD$，$\therefore \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DAE + \angle AED = \angle AED + \angle ACD = 90^{\circ}$。

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ O $ 为 $ AC $ 上的一点,以点 $ O $ 为圆心, $ OC $ 为半径的 $ \odot O $ 与 $ BC $ 相切于点 $ C $,过点 $ A $ 作 $ AD \perp BO $ 交 $ BO $ 的延长线于点 $ D $,且 $ \angle AOD = \angle BAD $.
(1)求证: $ AB $ 为 $ \odot O $ 的切线;
(2)若 $ \angle BAD = 60 ^ { \circ } $, $ \odot O $ 的半径为 $ 3 $,则 $ AD = $____,点 $ D $ 与 $ \odot O $ 的位置关系
为____.

答案：

(1) 如图①，
作 $OE \perp AB$ 于点 E。$\because AD \perp BO$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$。$\because \odot O$ 与 BC 相切于点 C，$\therefore BC \perp OC$，$\therefore \angle OCB = 90^{\circ}$。$\because \angle AOD = \angle BAD$，$\therefore \angle EBO = 90^{\circ} - \angle BAD = 90^{\circ} - \angle AOD = \angle OAD$。$\because \angle BOC = \angle AOD$，$\therefore \angle CBO = 90^{\circ} - \angle BOC = 90^{\circ} - \angle AOD = \angle OAD$，$\therefore \angle EBO = \angle CBO$。$\because \angle OEB = \angle OCB = 90^{\circ}$，$OB = OB$，$\therefore \triangle OEB \cong \triangle OCB (AAS)$。$\therefore OE = OC$。$\therefore AB$ 是 $ \odot O$ 的切线。
　
(2) $3\sqrt{3}$ 点 D 在 $ \odot O$ 上 解析：如图②，作 $OE \perp AB$ 于点 E。$\because \angle BAD = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AOD = \angle BAD = 60^{\circ}$，$\therefore \angle OAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore \angle OAD = \angle OAE = 30^{\circ}$。$\because \angle ODA = \angle OEA = 90^{\circ}$，$OA = OA$，$\therefore \triangle ODA \cong \triangle OEA (AAS)$，$\therefore OD = OE = 3$，$\therefore$ 点 D 在 $ \odot O$ 上。$\because OA = 2OD = 6$，$\therefore AD = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$。

6. (湘西州中考)如图, $ PA $, $ PB $ 为圆 $ O $ 的切线,切点分别为 $ A $, $ B $, $ PO $ 交 $ AB $ 于点 $ C $, $ PO $ 的延长线交圆 $ O $ 于点 $ D $.下列结论不一定成立的是(B)

A. $ \triangle BPA $ 为等腰三角形
B. $ AB $ 与 $ PD $ 相互垂直平分
C. 点 $ A $, $ B $ 都在以 $ PO $ 为直径的圆上
D. $ PC $ 为 $ \triangle BPA $ 的边 $ AB $ 上的中线

答案： B

7. (青海中考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90 ^ { \circ } $, $ AC = 3 $, $ BC = 4 $,则 $ \triangle ABC $ 的内切圆半径 $ r = $____.

答案：
1 解析：在 $ \triangle ABC$ 中，$ \angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理，得 $AB = 5$，如图，设 $ \triangle ABC$ 的内切圆与三条边的切点分别为 D，E，F，连接 OD，OE，OF，$\therefore OD \perp AB$，$OE \perp BC$，$OF \perp AC$。$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$ 四边形 EOFC 是矩形。根据切线长定理，得 $CE = CF$，$\therefore$ 矩形 EOFC 是正方形，$\therefore CE = CF = r$，$\therefore AF = AD = AC - FC = 3 - r$，$BE = BD = BC - CE = 4 - r$。$\because AD + BD = AB$，$\therefore 3 - r + 4 - r = 5$，解得 $r = 1$。则 $ \triangle ABC$ 的内切圆半径 $r = 1$。