《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 利用十字相乘法解方程.
(1)$x^{2}-x-90= 0$；方程整理得$(x - 10)(x + 9) = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = -9$
(2)$2x^{2}+x-10= 0$；方程整理得$(2x + 5)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = -2.5$，$x_2 = 2$

答案：
(1) 方程整理得$(x - 10)(x + 9) = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = -9$。
(2) 方程整理得$(2x + 5)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = -2.5$，$x_2 = 2$。

2. 改编题 利用换元法解方程.
(1)倒数换元:$\frac {x-2}{x}-\frac {3x}{x-2}= 2$；设$\frac{x - 2}{x} = y$，则原方程可化为$y - \frac{3}{y} = 2$，整理得$y^2 - 2y - 3 = 0$，解得$y_1 = 3$，$y_2 = -1$。当$y = 3$时，$\frac{x - 2}{x} = 3$，解得$x = -1$；当$y = -1$时，$\frac{x - 2}{x} = -1$，解得$x = 1$。经检验，$x = \pm 1$都是原方程的根，∴原方程的根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
(2)整体换元:$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)= 48$；$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 48$，$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 48$，设$x^2 - 5x = t$，则$(t + 4)(t + 6) = 48$，整理得$t^2 + 10t - 24 = 0$，$(t + 12)(t - 2) = 0$，解得$t_1 = -12$，$t_2 = 2$。当$t = -12$，即$x^2 - 5x = -12$时，$x^2 - 5x + 12 = 0$，无实数解；当$t = 2$，即$x^2 - 5x = 2$时，解得$x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$。故原方程的解为$x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$。
(3)指数换元:$x^{x^{4}}= 64$；设$x^4 = t$，则$x^t = 64$，$\therefore (x^t)^4 = 64^4$，$\therefore (x^4)^t = 64^4$，$\therefore t^t = (8^2)^4 = 8^8$，$\therefore t = 8 = x^4$，$\therefore x = \pm \sqrt[4]{8}$。
(4)根式换元:$3x^{2}+2x\sqrt {2x^{2}+5x-2}+5x-38= 0$；设$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = y$，$2x^2 + 5x - 2 = y^2$，$5x = y^2 + 2 - 2x^2$，原方程可化为$3x^2 + 2xy + (y^2 + 2 - 2x^2) - 38 = 0$，整理得$x^2 + 2xy + y^2 - 36 = 0$，即$x + y = \pm 6$。当$x + y = 6$时，$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = 6$，即$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = 6 - x$，等号两边同时平方，整理得$x^2 + 17x - 38 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -19$，经检验都是原方程的根；当$x + y = -6$时，$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6$，即$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6 - x$，等号两边同时平方，整理得$x^2 - 7x - 38 = 0$，解得$x = \frac{7 \pm \sqrt{201}}{2}$，经检验，$x = \frac{7 \pm \sqrt{201}}{2}$都不是$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6$的根，舍去。故原方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -19$。
(5)降次换元:$6x^{4}-35x^{3}+62x^{2}-35x+6= 0$；经验证$x = 0$不是方程$6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0$的根，原方程两边同时除以$x^2$，得$6x^2 - 35x + 62 - \frac{35}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$，即$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 35(x + \frac{1}{x}) + 62 = 0$，设$x + \frac{1}{x} = y$，则$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$，$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$，则原方程可化为$6(y^2 - 2) - 35y + 62 = 0$，$6y^2 - 35y + 50 = 0$，$(2y - 5)(3y - 10) = 0$，$y_1 = \frac{5}{2}$，$y_2 = \frac{10}{3}$，当$y = \frac{5}{2}$时，$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$，解得$x = 2$或$\frac{1}{2}$；当$y = \frac{10}{3}$时，$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$，解得$x = 3$或$\frac{1}{3}$。经检验，原方程的解为$x_１ = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$，$x_3 = 3$，$x_4 = \frac{1}{3}$
(６)均值换元:$(x+1)^{4}+(x+3)^{4}= 706$。设$y = x +　２$，原方程可化为$(y - 1)^４ + (y + 1)^４ =　706$,$\therefore (y^2 - 2y +　1)^2 + (y^2 +　２y + 1)^2 = 706$,$\therefore y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^3 + 2y^2 - 4y + y^４ +　4y^2 + 1 + 4y^3 + 2y^2 + ４y = 706$,整理得$2y^4 +　12y^２ -　７04 = 0$,解得$y^2 = 16$或$y^2 = -22$(舍去),$\therefore y = \pm 4$,　$\therefore x + 2 = \pm 4$,　$\therefore x = 2$或$x = -6$。

答案：
(1) 设$\frac{x - 2}{x} = y$，则原方程可化为$y - \frac{3}{y} = 2$，整理得$y^2 - 2y - 3 = 0$，解得$y_1 = 3$，$y_2 = -1$。当$y = 3$时，$\frac{x - 2}{x} = 3$，解得$x = -1$；当$y = -1$时，$\frac{x - 2}{x} = -1$，解得$x = 1$。经检验，$x = \pm 1$都是原方程的根，
∴原方程的根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
(2) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 48$，$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 48$，设$x^2 - 5x = t$，则$(t + 4)(t + 6) = 48$，整理得$t^2 + 10t - 24 = 0$，$(t + 12)(t - 2) = 0$，解得$t_1 = -12$，$t_2 = 2$。当$t = -12$，即$x^2 - 5x = -12$时，$x^2 - 5x + 12 = 0$，无实数解；当$t = 2$，即$x^2 - 5x = 2$时，解得$x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$。故原方程的解为$x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$。
(3) 设$x^4 = t$，则$x^t = 64$，$\therefore (x^t)^4 = 64^4$，$\therefore (x^4)^t = 64^4$，$\therefore t^t = (8^2)^4 = 8^8$，$\therefore t = 8 = x^4$，$\therefore x = \pm \sqrt[4]{8}$。
(4) 设$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = y$，$2x^2 + 5x - 2 = y^2$，$5x = y^2 + 2 - 2x^2$，原方程可化为$3x^2 + 2xy + (y^2 + 2 - 2x^2) - 38 = 0$，整理得$x^2 + 2xy + y^2 - 36 = 0$，即$x + y = \pm 6$。
当$x + y = 6$时，$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = 6$，即$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = 6 - x$，等号两边同时平方，整理得$x^2 + 17x - 38 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -19$，经检验都是原方程的根；
当$x + y = -6$时，$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6$，即$\sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6 - x$，等号两边同时平方，整理得$x^2 - 7x - 38 = 0$，解得$x = \frac{7 \pm \sqrt{201}}{2}$，经检验，$x = \frac{7 \pm \sqrt{201}}{2}$都不是$x + \sqrt{2x^2 + 5x - 2} = -6$的根，舍去。
故原方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -19$。
(5) 经验证$x = 0$不是方程$6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0$的根，原方程两边同时除以$x^2$，得$6x^2 - 35x + 62 - \frac{35}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$，即$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 35(x + \frac{1}{x}) + 62 = 0$，设$x + \frac{1}{x} = y$，则$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$，$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$，则原方程可化为$6(y^2 - 2) - 35y + 62 = 0$，$6y^2 - 35y + 50 = 0$，$(2y - 5)(3y - 10) = 0$，$y_1 = \frac{5}{2}$，$y_2 = \frac{10}{3}$，当$y = \frac{5}{2}$时，$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$，解得$x = 2$或$\frac{1}{2}$；当$y = \frac{10}{3}$时，$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$，解得$x = 3$或$\frac{1}{3}$。经检验，原方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$，$x_3 = 3$，$x_4 = \frac{1}{3}$。
(6) 设$y = x + 2$，原方程可化为$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 706$，$\therefore (y^2 - 2y + 1)^2 + (y^2 + 2y + 1)^2 = 706$，$\therefore y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^3 + 2y^2 - 4y + y^4 + 4y^2 + 1 + 4y^3 + 2y^2 + 4y = 706$，整理得$2y^4 + 12y^2 - 704 = 0$，解得$y^2 = 16$或$y^2 = -22$（舍去），$\therefore y = \pm 4$，即$x + 2 = \pm 4$，$\therefore x = 2$或$x = -6$。
知识拓展
若实数$x$，$y$满足$x + y = p$，则可设$x = \frac{p}{2} + t$，$y = \frac{p}{2} - t$，这种换元方法被称为“均值换元法”。例如，解形如$(x + a)^4 + (x + b)^4 = c$的一元四次方程时，即可用均值换元法，先求常数$a$和$b$的均值$\frac{a + b}{2}$，设$y = x + \frac{a + b}{2}$，这样可以消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程。

3. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程$x^{2}+5x-14= 0(x＞0)$,即$x(x+5)= 14(x＞0)$的方法.首先构造了如图①所示的图形,图中的大正方形面积是$(x+x+5)^{2}$,其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x+5)= 14$,中间的小正方形面积为$5^{2}$,所以大正方形的面积又可表示为$4×14+5^{2}= 81$,据此易得$x= 2$.

(1)参照上述方法,请在三个构图中选择能够说明方程$x^{2}-3x-10= 0(x＞0)$解法的正确构图

是____.
(2)请你结合上述问题的学习,在图②的网格中设计用几何法求解方程$x^{2}-2x-15= 0(x＞0)$的构图(类比图①标明相关数据,不需写出解答过程).

答案：

(1) B
(2) 如图所示，

4. 原创题 解方程.
(1)$x^{2}+2|x|-1= 0$；$x_1 = \sqrt{2} - 1$，$x_2 = -\sqrt{2} + 1$
(2)$x^{2}-|2x-1|-4= 0$.$x_1 = 3$，$x_2 = -1 - \sqrt{6}$

答案：
(1) 解法一：当$x \geq 0$时，原方程为$x^2 + 2x - 1 = 0$，解得$x_1 = \sqrt{2} - 1$，$x_2 = -\sqrt{2} - 1$（舍去）；当$x ＜ 0$时，原方程为$x^2 - 2x - 1 = 0$，解得$x_1 = \sqrt{2} + 1$（舍去），$x_2 = -\sqrt{2} + 1$。综上，$x_1 = \sqrt{2} - 1$，$x_2 = -\sqrt{2} + 1$。
解法二：把原方程看作关于$|x|$的一元二次方程，$(|x|)^2 + 2|x| - 1 = 0$，解方程得$|x| = -1 + \sqrt{2}$或$|x| = -1 - \sqrt{2}$（舍去），$\therefore x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$。
(2) 当$2x - 1 \geq 0$，即$x \geq \frac{1}{2}$时，$x^2 - |2x - 1| - 4 = 0$可化为$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$（舍去）；当$2x - 1 ＜ 0$，即$x ＜ \frac{1}{2}$时，$x^2 - |2x - 1| - 4 = 0$可化为$x^2 + 2x - 5 = 0$，解得$x_1 = -1 + \sqrt{6}$（舍去），$x_2 = -1 - \sqrt{6}$。综上，$x_1 = 3$，$x_2 = -1 - \sqrt{6}$。
归纳总结
解含有绝对值的一元二次方程，一般利用绝对值的性质$|x| = \begin{cases} x(x \geq 0) \\ -x(x ＜ 0) \end{cases}$，进行分类讨论，将含绝对值的一元二次方程转化为一般的一元二次方程；有时也可以利用绝对值的性质$(x^2 = |x|^2)$，直接把原方程转化为关于$|x|$的一元二次方程。

5. (1)若关于x的方程$x^{2}-2|x|+2= m$恰有3个不相等的实数根,则m的值为2.
(2)若关于x的方程$|x^{2}+ax|= 4$只有3个不相等的实数根,则这3个根为$-2 \pm 2\sqrt{2}$，$-2$或$2 \pm 2\sqrt{2}$，2.

答案：
(1) 2
(2) $-2 \pm 2\sqrt{2}$，$-2$或$2 \pm 2\sqrt{2}$，2 解析：$\because |x^2 + ax| = 4$，$\therefore x^2 + ax - 4 = 0$ ①或$x^2 + ax + 4 = 0$ ②。方程①②不可能有相同的根，而原方程有3个不相等的实数根，$\therefore$方程①②中有一个含有等根，而$\Delta_1 = a^2 + 16 ＞ 0$，$\therefore \Delta_2 = a^2 - 16 = 0$，$\therefore a = \pm 4$。当$a = 4$时，原方程为$x^2 + 4x - 4 = 0$或$x^2 + 4x + 4 = 0$，原方程的解为$x = -2 \pm 2\sqrt{2}$或$x = -2$；当$a = -4$时，原方程为$x^2 - 4x - 4 = 0$或$x^2 - 4x + 4 = 0$，原方程的解为$x = 2 \pm 2\sqrt{2}$或$x = 2$。
知识拓展
重根的概念仅存在于代数方程（也称多项式方程），带绝对值的方程没有重根，相等的根都视为一个根。