《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

12. 已知关于x的方程$x^{2}-(2k-3)x+k^{2}+1= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$.
(1)求k的取值范围;$k ＜ \frac{5}{12}$
(2)若$x_{1},x_{2}满足|x_{1}|+|x_{2}|= 2|x_{1}x_{2}|-3$,求k的值.$-2$

答案：
(1)
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta = [-(2k - 3)]^2 - 4(k^2 + 1) = 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 - 4 = -12k + 5 ＞ 0$，解得 $k ＜ \frac{5}{12}$。
(2)
∵ $k ＜ \frac{5}{12}$，
∴ $x_1 + x_2 = 2k - 3 ＜ 0$。又
∵ $x_1·x_2 = k^2 + 1 ＞ 0$，
∴ $x_1 ＜ 0$，$x_2 ＜ 0$，
∴ $|x_1| + |x_2| = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = -2k + 3$。
∵ $|x_1| + |x_2| = 2|x_1x_2| - 3$，
∴ $-2k + 3 = 2k^2 + 2 - 3$，即 $k^2 + k - 2 = 0$，
∴ $k_1 = 1$，$k_2 = -2$。又
∵ $k ＜ \frac{5}{12}$，
∴ $k = -2$。

13. 改编题 已知$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的两实数根.
(1)若$x_{1},x_{2}$恰好是矩形的两邻边长,且$m= 3$,求该矩形的周长和面积; 周长为16，面积为14
(2)若$2x_{1},2x_{2}$恰好是菱形的两条对角线的长,菱形边长为6,求m的值; m的值为3
(3)若等腰$\triangle ABC$的一边长为7,且$x_{1},x_{2}恰好是\triangle ABC$另外两边的长,求这个三角形的周长. 三角形的周长为17

答案：
(1)
∵ $m = 3$，
∴ 原方程化为 $x^2 - 8x + 14 = 0$，
∴ $x_1 + x_2 = 8$，$x_1x_2 = 14$，
∴ 该矩形的周长为 $2(x_1 + x_2) = 16$，面积为 $x_1x_2 = 14$。
(2) $x_1 + x_2 = 2m + 2$，$x_1x_2 = m^2 + 5$。
∵ $2x_1$，$2x_2$是边长为 6 的菱形的两条对角线的长，
∴ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2m + 2)^2 - 2(m^2 + 5) = 6^2 = 36$，解得 $m = -7$或 $m = 3$。由题意可知 $\Delta = [-(2m + 2)]^2 - 4(m^2 + 5) ≥ 0$，$x_1 + x_2 = 2m + 2 ＞ 0$，$x_1x_2 = m^2 + 5 ＞ 0$，
∴ $m ≥ 2$，
∴ $m = 3$。
(3) ①当 7 为底边长时，方程的两根为腰，
∴ 两根相等，即 $\Delta = 0$，解得 $m = 2$，代入原方程可解得 $x_1 = x_2 = 3$。
∵ $3 + 3 ＜ 7$，
∴ 不能构成三角形。
②当 7 为腰长时，$x = 7$是方程的一个根，把 $x = 7$代入方程得 $49 - 14(m + 1) + m^2 + 5 = 0$，整理得 $m^2 - 14m + 40 = 0$，解得 $m_1 = 10$，$m_2 = 4$。当 $m = 10$时，$x_1 + x_2 = 2(m + 1) = 22$，
∴ $x_2 = 15$，而 $7 + 7 ＜ 15$，不能构成三角形，故舍去；当 $m = 4$时，$x_1 + x_2 = 2(m + 1) = 10$，
∴ $x_2 = 3$，则三角形的周长为 $3 + 7 + 7 = 17$。综上，这个三角形的周长为 17。

14. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x-m^{2}-m= 0(m＞0)$,当$m= 1,2,3,…,2024$时,相应地,一元二次方程的两个根分别记为$\alpha _{1}$、$\beta _{1},\alpha _{2}$、$\beta _{2},…,\alpha _{2024}$、$\beta _{2024}$,则$\frac {1}{\alpha _{1}}+\frac {1}{\beta _{1}}+\frac {1}{\alpha _{2}}+\frac {1}{\beta _{2}}+…+\frac {1}{\alpha _{2024}}+\frac {1}{\beta _{2024}}$的值为____$\frac{4048}{2025}$.

答案： $\frac{4048}{2025}$ 解析：
∵ $x^2 + 2x - m^2 - m = x^2 + 2x - m(m + 1) = 0$，
∴ $\alpha + \beta = -2$，$\alpha\beta = -m(m + 1)$。当 $m = 1$，$2$，$3$，…，$2024$时，$\alpha_1\beta_1 = -1×2$，$\alpha_2\beta_2 = -2×3$，…，$\alpha_{2024}\beta_{2024} = -2024×2025$，
∴ 原式 = $\frac{\alpha_1 + \beta_1}{\alpha_1\beta_1} + \frac{\alpha_2 + \beta_2}{\alpha_2\beta_2} + \cdots + \frac{\alpha_{2024} + \beta_{2024}}{\alpha_{2024}\beta_{2024}} = \frac{2}{1×2} + \frac{2}{2×3} + \frac{2}{3×4} + \cdots + \frac{2}{2024×2025} = 2×(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}) = 2×(1 - \frac{1}{2025}) = \frac{4048}{2025}$。

15. (荆州中考)已知在关于x的分式方程$\frac {k-1}{x-1}= 2$ ①和一元二次方程$(2-k)x^{2}+3mx+(3-k)n= 0$ ②中,k,m,n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围.$k ≥ -1$且 $k ≠ 1$且 $k ≠ 2$
(2)当方程②有两个整数根$x_{1},x_{2}$,k为整数,且$k= m+2,n= 1$时,求方程②的整数根.$x_1 = 0$，$x_2 = 3$
(3)当方程②有两个实数根$x_{1},x_{2}满足x_{1}(x_{1}-k)+x_{2}(x_{2}-k)= (x_{1}-k)(x_{2}-k)$,且k为负整数时,试判断$|m|≤2$是否成立? 请说明理由.成立，理由见解析

答案：
(1)
∵ 分式方程 $\frac{k - 1}{x - 1} = 2$的根为非负数，
∴ $x ≥ 0$且 $x ≠ 1$，即 $x = \frac{k + 1}{2} ≥ 0$，且 $\frac{k + 1}{2} ≠ 1$，解得 $k ≥ -1$且 $k ≠ 1$。又一元二次方程的二次项系数 $2 - k ≠ 0$，
∴ $k ≠ 2$，综上可得，$k ≥ -1$且 $k ≠ 1$且 $k ≠ 2$。
(2)
∵ 一元二次方程 $(2 - k)x^2 + 3mx + (3 - k)n = 0$有两个整数根 $x_1$，$x_2$，且 $k = m + 2$，$n = 1$，
∴ 把 $k = m + 2$，$n = 1$代入原方程得 $mx^2 - 3mx + m - 1 = 0$，
∴ $\Delta = (-3m)^2 - 4m(m - 1) = m(5m + 4) ≥ 0$，且 $m ≠ 0$。
∵ $x_1$，$x_2$，$k$，$m$都是整数，且 $x_1 + x_2 = 3$，$x_1·x_2 = \frac{m - 1}{m} = 1 - \frac{1}{m}$，
∴ $1 - \frac{1}{m}$为整数，
∴ $m = 1$或 $m = -1$。又由
(1)中 $k$的取值范围知 $m + 2 ≥ -1$且 $m + 2 ≠ 1$且 $m + 2 ≠ 2$，
∴ $m ≥ -3$且 $m ≠ -1$且 $m ≠ 0$，
∴ $m = 1$。把 $m = 1$代入方程 $mx^2 - 3mx + m - 1 = 0$得 $x^2 - 3x + 1 - 1 = 0$，即 $x^2 - 3x = 0$，
∴ $x(x - 3) = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(3) $|m| ≤ 2$成立。理由如下：由
(1)知 $k ≥ -1$且 $k ≠ 1$且 $k ≠ 2$。
∵ $k$是负整数，
∴ $k = -1$。
∵ 方程 $(2 - k)x^2 + 3mx + (3 - k)n = 0$有两个实数根 $x_1$，$x_2$，
∴ $x_1 + x_2 = -\frac{3m}{2 - k} = \frac{3m}{k - 2} = -m$，$x_1x_2 = \frac{(3 - k)n}{2 - k} = \frac{4}{3}n$。
∵ $x_1(x_1 - k) + x_2(x_2 - k) = (x_1 - k)·(x_2 - k)$，即 $x_1^2 - x_1k + x_2^2 - x_2k = x_1x_2 - x_1k - x_2k + k^2$，
∴ $x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 + k^2$，则 $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = k^2$，
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = k^2$，
∴ $(-m)^2 - 3×\frac{4}{3}n = 1$，即 $m^2 - 4n = 1$，
∴ $n = \frac{m^2 - 1}{4}$。由题意知，方程②的根的判别式 $\Delta = (3m)^2 - 4(2 - k)(3 - k)n = 9m^2 - 48n ≥ 0$，把 $n = \frac{m^2 - 1}{4}$代入，可得 $9m^2 - 48×\frac{m^2 - 1}{4} ≥ 0$，
∴ $m^2 ≤ 4$，则 $|m| ≤ 2$，
∴ $|m| ≤ 2$成立。