《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

4. (北京中考)如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的一条弦,$AB\perp CD$,连接AC,OD.
(1)求证:$\angle BOD = 2\angle A$.
(2)连接DB,过点C作$CE\perp DB$,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为$\odot O$的切线.

答案：

(1)如图①,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴⌢BC=⌢BD,
∴∠CAB=∠BAD.
∵∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=2∠CAB.
　　　　
　　　　
(2)如图②,连接AD,OC,
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC,
∴AD=CD,∠ADF=∠CDF.
∵⌢BC=⌢BD,
∴∠CAB=∠DAB.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CDF=∠CAB.
∵OC=OD,
∴∠CDF=∠OCD,
∴∠OCD=∠CAB.
∵⌢BC=⌢BC,∠CAB=∠CDE,
∴∠CDE=∠OCD.
∵∠E=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠OCD+∠DCE=90°,即OC⊥CE.
∵OC为半径,
∴直线CE为⊙O的切线.

5. (恩施州中考节选)如图,P为$\odot O$外一点,PA,PB为$\odot O$的切线,切点分别为A,B,直线PO交$\odot O$于点D,E,交AB于点C.
(1)求证:$\angle ADE = \angle PAE$;
(2)若$\angle ADE = 30^{\circ}$,求证:$AE = PE$.

答案：

(1)连接OA,如图,
∵PA为⊙O的切线,
∴AO⊥PA,
∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DAE=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠ADE=∠PAE.
　　　　　　　　
(2)由
(1)知,∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,
∴∠AED=90°−∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,
∴∠APE=∠PAE=30°,
∴AE=PE.

6. (武汉中考)如图,在四边形材料ABCD中,$AD// BC$,$\angle A = 90^{\circ}$,$AD = 9cm$,$AB = 20cm$,$BC = 24cm$.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是 ( )

A. $\frac{110}{13}cm$
B. $8cm$
C. $6\sqrt{2}cm$
D. $10cm$

答案：
B　解析:如图,当AB,BC,CD切⊙O于点E,F,G时,⊙O的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD//CB,∠BAD=90°,
∴∠ABC=90°.
∵∠DHB=90°,
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=20cm,AD=BH=9cm.
∵BC=24cm,
∴CH=BC−BH=24−9=15(cm),
∴CD=√(DH²+CH²)=√(20²+15²)=25(cm).设OE=OF=OG=r cm,则有1/2×(9+24)×20=1/2×20×r+1/2×24×r+1/2×25×r+1/2×9×(20 - r),
∴r=8.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7. 如图,AB是$\odot O$的直径,AD和CD分别切$\odot O$于A,E两点,BC与$\odot O$有公共点B,且$EC = BC$.
(1)求证:BC是$\odot O$的切线;
(2)若$AB = 12$,$AD = 8$,求BC的长.

答案：

(1)如图①,连接OC,OE,
∵CD切⊙O于点E,
∴∠OEC=90°.在△OEC与△OBC中，{OE=OB，CE=CB，OC=OC}，
∴△OEC≌△OBC,
∴∠OEC=∠OBC=90°,即BC⊥OB.
∵OB为半径,
∴BC是⊙O的切线.
　　　　
(2)如图②,连接OD,过点C作CH⊥AD于点H,
∴∠AHC=90°.
∵AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A,B两点，
∴∠ABC=∠DAB=90°,
∴四边形ABCH是矩形,
∴CH=AB=12,AH=BC.
∵CD是⊙O的切线,
∴AD=DE=8,BC=EC=AH,
∴DH=AD−AH=8−BC,DC=DE+EC=8+BC.在Rt△DHC中,由勾股定理得CH²+DH²=CD²,
∴12²+(8−BC)²=(8+BC)²,
∴BC=9/2.