《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (黄石中考改编)阅读材料,解答问题:
已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2}-m - 1 = 0,n^{2}-n - 1 = 0 $,且 $ m \neq n $,显然 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知 $ m + n = 1,mn = - 1 $.
(1)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^{2}-15a = 5,b^{2}= 15b + 5 $,则 $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} $ 的值为2或-47;
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2}-2m = 1,n^{2}+2n = 1 $ 且 $ mn \neq 1 $,求 $ \frac{mn + n + 1}{n} $ 的值;
(3)已知实数 $ m,n $ 满足 $ \frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}} = 7,n^{2}-n = 7 $ 且 $ n ＞ 0 $,求 $ \frac{1}{m^{4}}+n^{2} $ 的值.

答案：
(1)2或-47
(2)解法一:由$n^{2}+2n-1=0$可知$n≠0$,$\therefore 1+\frac {2}{n}-\frac {1}{n^{2}}=0$,即$\frac {1}{n^{2}}-\frac {2}{n}-1=0$.又$m^{2}-2m-1=0$且$mn≠1$,即$m≠\frac {1}{n}$,$\therefore m,\frac {1}{n}$是方程$x^{2}-2x-1=0$的两个不相等的实数根,$\therefore m+\frac {1}{n}=2$,$\therefore \frac {mn+n+1}{n}=m+1+\frac {1}{n}=2+1=3$.
解法二:$\because m^{2}-2m-1=0,n^{2}+2n-1=0$,$\therefore (-m)^{2}+2×(-m)-1=0$,$\therefore -m$和$n$都是方程$x^{2}+2x-1=0$的根,$Δ＞0$.如果$-m$和$n$是两个不相等的实数根,那么由根与系数的关系可知$-mn=-1$,与题干$mn≠1$矛盾,$\therefore -m$和$n$是同一个实数根,即$-m=n$,$\therefore \frac {mn+n+1}{n}=\frac {-n^{2}+n+1}{n}=\frac {2n-1+n+1}{n}=3$.
(3)令$\frac {1}{m^{2}}=a,-n=b$,则$a^{2}+a-7=0,b^{2}+b-7=0$.$\because n＞0$,$\therefore \frac {1}{m^{2}}≠-n$,即$a≠b$,$\therefore a,b$是方程$x^{2}+x-7=0$的两个不相等的实数根,$\therefore a+b=-1,ab=-7$,故$\frac {1}{m^{4}}+n^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=15$.
易错提醒
若一元二次方程有实数根,则必有两个实数根;利用根的定义构造一元二次方程时,需注意两个根的代数式表示的是方程的同一个根还是不同的两个根,是不同的两个根的情况下才可以用根与系数的关系.

2. (1) $ \left(\frac{3+\sqrt{3^{2}-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{3-\sqrt{3^{2}-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}\right)^{2} $ =$\frac {9}{2}-\sqrt {2}$
(2)代数式 $ \left(\frac{1+\sqrt{1 - 4a}}{2}\right)^{3}-\left(\frac{1+\sqrt{1 - 4a}}{2}\right)^{2}+a\left(\frac{1+\sqrt{1 - 4a}}{2}\right)-2 $ 的值为____-2.

答案：
(1)$\frac {9}{2}-\sqrt {2}$
(2)-2 解析:设$m=\frac {1+\sqrt {1-4a}}{2}$,$\therefore (\frac {1+\sqrt {1-4a}}{2})^{3}-(\frac {1+\sqrt {1-4a}}{2})^{2}+a(\frac {1+\sqrt {1-4a}}{2})-2=m^{3}-m^{2}+am-2$.$\because m=\frac {1+\sqrt {1-4a}}{2}=\frac {-(-1)+\sqrt {(-1)^{2}-4×1\cdot a}}{2×1}$,$\therefore m$是方程$x^{2}-x+a=0$的根,$\therefore m^{2}-m=-a$,$\therefore m^{3}-m^{2}+am-2=m(m^{2}-m)+am-2=-am+am-2=-2$.

3. 改编题 阅读材料,解答问题:
如果关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 的两个根是 $ x_{1},x_{2} $,那么 $ x_{1}+x_{2}= -p,x_{1}\cdot x_{2}= q $,这种根与系数的关系被称为韦达定理.韦达定理的逆定理同样成立.
(1)已知某一元二次方程的二次项系数为 2,两个根分别为 $ \sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1 $,则该方程的一般形式为$2x^{2}-4\sqrt {2}x+2=0$.
(2)①已知实数 $ x,y,z $ 满足 $ x = 6 - y,z^{2}= xy - 9 $,则 $ z = $0;
②已知 $ a,b,c $ 满足 $ a + b + c = 0,4abc = 64 $,求正数 $ c $ 的最小值.
$\because a+b+c=0,4abc=64$,$\therefore a+b=-c,ab=\frac {16}{c}$,$\therefore a,b$是方程$x^{2}+cx+\frac {16}{c}=0$的解,$\therefore Δ=c^{2}-4\cdot \frac {16}{c}≥0$,即$c^{3}-\frac {64}{c}≥0$.$\because c$是正数,$\therefore c^{3}-4^{3}≥0$,即$c^{3}≥4^{3}$,解得$c≥4$,$\therefore$正数$c$的最小值是4.
(3)解方程组 $ \begin{cases}(m + 1)(3m^{2}+5mn)= 144,\\m^{2}+4m + 5n = 24.\end{cases} $
原方程组整理得$\left\{\begin{array}{l} m(m+1)(3m+5n)=144\\ m^{2}+m+3m+5n=24\end{array}\right.$.令$a=m^{2}+m$,$b=3m+5n$,则原方程组为$\left\{\begin{array}{l} ab=144\\ a+b=24\end{array}\right.$.设以$a,b$为两根的一元二次方程为$y^{2}-24y+144=0$,解得$y_{1}=y_{2}=12$,即$a=12,b=12$,$\therefore m^{2}+m=12,3m+5n=12$,$\therefore m_{1}=3,n_{1}=\frac {3}{5}$或$m_{2}=-4$,$n_{2}=\frac {24}{5}$.

答案：
(1)$2x^{2}-4\sqrt {2}x+2=0$
(2)①0
②$\because a+b+c=0,4abc=64$,$\therefore a+b=-c,ab=\frac {16}{c}$,$\therefore a,b$是方程$x^{2}+cx+\frac {16}{c}=0$的解,$\therefore Δ=c^{2}-4\cdot \frac {16}{c}≥0$,即$c^{3}-\frac {64}{c}≥0$.$\because c$是正数,$\therefore c^{3}-4^{3}≥0$,即$c^{3}≥4^{3}$,解得$c≥4$,$\therefore$正数$c$的最小值是4.
(3)原方程组整理得$\left\{\begin{array}{l} m(m+1)(3m+5n)=144\\ m^{2}+m+3m+5n=24\end{array}\right.$.令$a=m^{2}+m$,$b=3m+5n$,则原方程组为$\left\{\begin{array}{l} ab=144\\ a+b=24\end{array}\right.$.设以$a,b$为两根的一元二次方程为$y^{2}-24y+144=0$,解得$y_{1}=y_{2}=12$,即$a=12,b=12$,$\therefore m^{2}+m=12,3m+5n=12$,$\therefore m_{1}=3,n_{1}=\frac {3}{5}$或$m_{2}=-4$,$n_{2}=\frac {24}{5}$.

4. 一题多解 (1)(2023·连云港中考)若 $ W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3 $($ x,y $ 为实数),则 $ W $ 的最小值为____-2.
(2)已知 $ m^{2}+n^{2}+mn + m - n + 1 = 0 $,则 $ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}= $____0.

答案：
(1)-2 解析:解法一:由题意知$5x^{2}+(8-4y)x+(y^{2}-2y+3-W)=0$.$\because x$为实数,$\therefore (8-4y)^{2}-20(y^{2}-2y+3-W)≥0$,即$5W≥(y+3)^{2}-10≥-10$,$\therefore W≥-2$,$\therefore W$的最小值为-2.
解法二:$W=5x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=x^{2}+4x^{2}-4xy+y^{2}-2y+8x+3=(4x^{2}-4xy+y^{2})-2y+x^{2}+8x+3=(2x-y)^{2}+4x-2y+x^{2}+4x+3=[(2x-y)^{2}+2(2x-y)+1]+(x^{2}+4x+4)-2=(2x-y+1)^{2}+(x+2)^{2}-2$.$\because x,y$均为实数,$\therefore (2x-y+1)^{2}≥0,(x+2)^{2}≥0$,$\therefore W≥-2$,即$W$的最小值为-2.
(2)0 解析:解法一:把$m^{2}+n^{2}+mn+m-n+1=0$看作关于$m$的一元二次方程,整理得$m^{2}+(n+1)m+n^{2}-n+1=0$,由题意可知$m$必然有实数根,$\therefore Δ=(n+1)^{2}-4(n^{2}-n+1)=-3(n-1)^{2}≥0$,$\therefore n=1$,代入方程可解得$m=-1$,$\therefore \frac {1}{m}+\frac {1}{n}=-1+1=0$.
解法二:将$m^{2}+n^{2}+mn+m-n+1=0$变形,得$2m^{2}+2n^{2}+2mn+2m-2n+2=0$,整理得$(m^{2}+2m+1)+(n^{2}-2n+1)+(m^{2}+2mn+n^{2})=0$,即$(m+1)^{2}+(n-1)^{2}+(m+n)^{2}=0$,$\therefore m+1=0,n-1=0$,解得$m=-1,n=1$.$\therefore \frac {1}{m}+\frac {1}{n}=-1+1=0$.
归纳总结
构造一元二次方程的常用方法:
(1)逆用根与系数的关系构造;
(2)利用根的定义构造;
(3)主元法构造,即对含多个字母的等式,选取其中一个字母为主元(未知数),将其他字母看成是常数,进而结合其他方法构造方程.