《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·淄博期末)定义:若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个实数根分别为x_{1},x_{2}(x_{1}\lt x_{2})$,分别以$x_{1},x_{2}为横坐标和纵坐标得到点M(x_{1},x_{2})$,则称点M为该一元二次方程的衍生点.
(1)直接写出方程$x^{2}+2x= 0$的衍生点M的坐标为____(-2,0)；
(2)已知关于x的方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2m= 0$.
①求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点M的坐标；$(m,m + 2)$
③已知不论$k(k≠0)$为何值,关于x的方程$x^{2}+bx+c= 0$的衍生点M始终在直线$y= -kx+2(4+k)$上,求b,c的值.$b=-10$，$c = 16$

答案：
(1) $(-2,0)$
(2) ①
∵方程为 $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+2m = 0$，
∴ $\Delta=[-2(m + 1)]^{2}-4(m^{2}+2m)=4＞0$，
∴不论 $m$ 为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
② $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+2m = 0$，$(x - m)(x - 2 - m)=0$，
∴ $x_{1}=m$，$x_{2}=m + 2$，
∴该方程的衍生点 $M$ 的坐标为 $(m,m + 2)$。
③直线 $y=-kx + 2(4 + k)=k(2 - x)+8$，过定点 $M(2,8)$，
∴ $x^{2}+bx + c = 0$ 两个根为 $x_{1}=2$，$x_{2}=8$，
∴ $2 + 8=-b$，$2×8 = c$，
∴ $b=-10$，$c = 16$。

2. (2024·泰州月考)已知关于x的方程$x^{2}+ax+b= 0(b≠0)与x^{2}+cx+d= 0(d≠0)$都有实数根,若这两个方程有且只有一个相同的根,且$ab= cd$,则称它们互为“友好方程”.如$x^{2}-3x+2= 0与x^{2}+x-6= 0$互为“友好方程”.
(1)判断方程$x^{2}-2x+1= 0与x^{2}-x+2= 0$是否是互为“友好方程”? 并说明理由.
不是，理由如下：$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}=0$，解得 $x = 1$，$x^{2}-x + 2 = 0$，∵ $\Delta=(-1)^{2}-4×2＜0$，∴该方程无解，故方程 $x^{2}-2x + 1 = 0$ 与 $x^{2}-x + 2 = 0$ 不是互为“友好方程”。
(2)若关于x的方程$x^{2}+3x+2m= 0与x^{2}-m^{2}x+3= 0$互为“友好方程”,求m的值.
-2
(3)材料:关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个实数根x_{1},x_{2}$和系数a,b,c,有如下关系:$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$.已知关于x的方程①:$x^{2}+ax+2b= 0$和关于x的方程②:$x^{2}+2ax+b= 0$,p,q分别是方程①和方程②的一个实数根,且$p≠q,b≠0$.若方程①和方程②是互为“友好方程”,且以p为两个方程的相同的根,请用含a的代数式分别表示p和q.
$p=-3a$，$q=a$

答案：
(1) 不是，理由如下：$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}=0$，解得 $x = 1$，$x^{2}-x + 2 = 0$，
∵ $\Delta=(-1)^{2}-4×2＜0$，
∴该方程无解，故方程 $x^{2}-2x + 1 = 0$ 与 $x^{2}-x + 2 = 0$ 不是互为“友好方程”。
(2)
∵关于 $x$ 的方程 $x^{2}+3x + 2m = 0$ 与 $x^{2}-m^{2}x + 3 = 0$ 互为“友好方程”，
∴ $3×2m=-3m^{2}$，解得 $m_{1}=0$，$m_{2}=-2$。当 $m = 0$ 时，方程 $x^{2}-m^{2}x + 3 = 0$ 无解，方程 $x^{2}+3x + 2m = 0$ 变为 $x^{2}+3x = 0$，解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=-3$，故 $m = 0$ 不符合题意；②当 $m=-2$ 时，方程 $x^{2}-m^{2}x + 3 = 0$ 变为 $x^{2}-4x + 3 = 0$，解得 $x_{1}=3$，$x_{2}=1$，方程 $x^{2}+3x + 2m = 0$ 变为 $x^{2}+3x - 4 = 0$，解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=-4$，此时有共同的根 $x = 1$，此时符合题意；综上所述，$m=-2$。
(3)
∵以 $p$ 为两个方程的相同的根，
∴ $p^{2}+ap + 2b = 0$，$p^{2}+2ap + b = 0$，
∴ $p=\frac{b}{a}$。
∵ $q$ 是方程②的一个实数根，
∴ $pq=\frac{b}{a}·q = b$，
∴ $q = a$。
∵ $p + q=-2a$，
∴ $p=-3a$。