《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 如图,已知$\triangle ABC与\triangle A'B'C'关于点O$成中心对称,则下列判断不正确的是 (B)

A. $\angle ABC= \angle A'B'C'$
B. $\angle BOC= \angle B'A'C'$
C. $AB= A'B'$
D. $OA= OA'$

答案： B

2. (潍坊中考)在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定点$O$称为极点;从点$O出发引一条射线Ox$称为极轴;线段$OP$的长度称为极径.点$P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP$的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即$P(3,60^{\circ})或P(3,-300^{\circ})或P(3,420^{\circ})$等,则点$P关于点O成中心对称的点Q$的极坐标表示不正确的是 (D)

A. $Q(3,240^{\circ})$
B. $Q(3,-120^{\circ})$
C. $Q(3,600^{\circ})$
D. $Q(3,-500^{\circ})$

答案： D

3. (2024·武汉中考)如图,小好同学用计算机软件绘制函数$y= x^{3}-3x^{2}+3x-1$的图象,发现它关于点$(1,0)$中心对称.若点$A_{1}(0.1,y_{1})$,$A_{2}(0.2,y_{2})$,$A_{3}(0.3,y_{3})$,…,$A_{19}(1.9,y_{19})$,$A_{20}(2,y_{20})$都在函数图象上,这$20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1$,则$y_{1}+y_{2}+y_{3}+… +y_{19}+y_{20}$的值是 (D)

A. $-1$
B. $-0.729$
C. $0$
D. $1$

答案： D 解析：
∵ 这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴ $\frac{0.1 + 1.9}{2} = \frac{0.2 + 1.8}{2} = \cdots = \frac{0.9 + 1.1}{2} = 1$，
∴ $y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_9 + y_{11} + \cdots + y_{19} = 0$，
∴ $y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_{19} + y_{20} = y_{10} + y_{20}$，而 $A_{10}(1, 0)$，即 $y_{10} = 0$，
∵ $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，当 $x = 0$ 时，$y = -1$，即 $(0, -1)$，
∵ $(0, -1)$ 关于点 $(1, 0)$ 中心对称的点为 $(2, 1)$，即当 $x = 2$ 时，$y_{20} = 1$，
∴ $y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_{19} + y_{20} = y_{10} + y_{20} = 0 + 1 = 1$。

4. (2024·楚雄期中)如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线.
(1)画出与$\triangle ACD关于点D$成中心对称的三角形;找出与$AC$相等的线段;
(2)探究:$\triangle ABC中AB与AC的和与中线AD$之间有何大小关系? 并说明理由.

答案：

(1) 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，延长 $AD$ 至点 $A'$，使 $AD = DA'$，连接 $BA'$，则 $\triangle A'BD$ 为所求，$AC = A'B$。
(2) $AB + AC ＞ 2AD$，理由：
∵ $\triangle A'BD$ 与 $\triangle ACD$ 关于点 $D$ 成中心对称，
∴ $AD = A'D$，$AC = A'B$。
∵ 在 $\triangle ABA'$ 中，有 $AB + A'B ＞ AA'$，即 $AB + AC ＞ AD + A'D$，
∴ $AB + AC ＞ 2AD$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\triangle ABC与\triangle DEC关于点C$成中心对称,连接$AE$,$BD$.
(1)线段$AE$,$BD$具有怎样的位置关系和大小关系? 说明你的理由.
$AE$ 与 $BD$ 平行且相等。理由：∵ $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEC$ 关于点 $C$ 成中心对称，∴ $AC = CD$，$BC = CE$，∴ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，∴ $AE$ 与 $BD$ 平行且相等。
(2)如果$\triangle ABC的面积为5\ \text{cm}^{2}$,求四边形$ABDE$的面积.
∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，∴ $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BCD} = S_{\triangle CDE} = S_{\triangle ACE}$。∵ $\triangle ABC$ 的面积为 $5cm^2$，∴ 四边形 $ABDE$ 的面积为 $4×5 = 20(cm^2)$。
(3)当$\angle ACB$为多少度时,四边形$ABDE$为矩形? 说明你的理由.
当 $\angle ACB = 60^{\circ}$ 时，四边形 $ABDE$ 为矩形。理由：∵ $AB = AC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形，∴ $AC = BC$。∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，∴ $AD = 2AC$，$BE = 2BC$，∴ $AD = BE$，∴ 四边形 $ABDE$ 为矩形。

答案：
(1) $AE$ 与 $BD$ 平行且相等。理由：
∵ $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEC$ 关于点 $C$ 成中心对称，
∴ $AC = CD$，$BC = CE$，
∴ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，
∴ $AE$ 与 $BD$ 平行且相等。
(2)
∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，
∴ $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BCD} = S_{\triangle CDE} = S_{\triangle ACE}$。
∵ $\triangle ABC$ 的面积为 $5cm^2$，
∴ 四边形 $ABDE$ 的面积为 $4×5 = 20(cm^2)$。
(3) 当 $\angle ACB = 60^{\circ}$ 时，四边形 $ABDE$ 为矩形。理由：
∵ $AB = AC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $AC = BC$。
∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，
∴ $AD = 2AC$，$BE = 2BC$，
∴ $AD = BE$，
∴ 四边形 $ABDE$ 为矩形。