《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·山西中考)如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD= 80°,则∠C的度数为(D)

A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°

答案： D

2. (2023·浙江中考)如图,点A是⊙O外一点,AB,AC分别与⊙O相切于点B,C,点D在$\overparen{BDC}$上.已知∠A= 50°,则∠D的度数是______65°.

答案： $65^{\circ}$

3. (2024·东营中考)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,点C是$\overparen{BE}$的中点,AE⊥CD,垂足为点D,DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CD= $\sqrt{3}$,∠ABC= 60°,求线段AF的长.

答案：

(1) 如图，连接 $OC$，则 $OA = OC$，$\therefore ∠OAC = ∠OCA$。$\because$ 点 $C$ 是 $\overset{\frown}{BE}$ 的中点，$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CE}$，$\therefore ∠OAC = ∠DAC$，$\therefore ∠OCA = ∠DAC$，$\therefore OC // AD$。$\because AE ⊥ CD$，$\therefore CD ⊥ OC$。$\because OC$ 是半径，$\therefore CD$ 是 $⊙O$ 的切线。
(2) $\because AB$ 是 $⊙O$ 的直径，$\therefore ∠ACB = 90^{\circ}$。$\because ∠ABC = 60^{\circ}$，$\therefore ∠BAC = 90^{\circ} - ∠ABC = 30^{\circ}$，$\therefore ∠DAC = 30^{\circ}$。$\because CD = \sqrt{3}$，$\therefore AD = 3$。$\because ∠F = 90^{\circ} - (∠BAC + ∠DAC) = 30^{\circ}$，$\therefore AF = 2AD = 6$。

4. (台州中考)如图,在△ABC中,AB= 10,AC= 8,BC= 6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )

A. 6
B. $2\sqrt{13}+1$
C. 9
D. $\frac{32}{3}$

答案：
C 解析：如图，设半圆 $O$ 与 $AC$ 相切于点 $E$，连接 $OE$，作 $OP_1 ⊥ BC$，垂足为 $P_1$，交半圆 $O$ 于点 $Q_1$，此时 $PQ$ 最短，$PQ$ 的最小值 $P_1Q_1$ 为 $OP_1 - OQ_1$。$\because AB = 10$，$AC = 8$，$BC = 6$，$\therefore AB^2 = AC^2 + BC^2$，$\therefore ∠C = 90^{\circ}$。$\because ∠OP_1B = 90^{\circ}$，$\therefore OP_1 // AC$。$\because AO = OB$，$\therefore P_1C = P_1B = 3$，$\therefore OP_1 = \frac{1}{2}AC = 4$。$\because OE ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，$\therefore OE // BC$，$\therefore OE = \frac{1}{2}BC = 3$，$\therefore P_1Q_1 = OP_1 - OQ_1 = 1$。当点 $Q_2$ 在 $AB$ 边上（靠近点 $A$），点 $P_2$ 与点 $B$ 重合时，$PQ$ 的最大值 $P_2Q_2 = OQ_2 + OP_2 = 3 + 5 = 8$，$\therefore PQ$ 长的最大值与最小值的和是 9。

5. (陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为______.

答案：
$3\sqrt{2} + 1$ 解析：当 $⊙O$ 与 $CB$，$CD$ 相切时，点 $A$ 到 $⊙O$ 上的点 $Q$ 的距离最大，如图，过点 $O$ 作 $OE ⊥ BC$ 于点 $E$，作 $OF ⊥ CD$ 于点 $F$，$\therefore OE = OF = 1$，$\therefore CO$ 平分 $∠BCD$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore$ 点 $O$ 在 $AC$ 上。$\because AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 4\sqrt{2}$，$OC = \sqrt{OE^2 + EC^2} = \sqrt{2}$，$\therefore AQ = OA + OQ = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 3\sqrt{2} + 1$，即点 $A$ 到 $⊙O$ 上的点的距离的最大值为 $3\sqrt{2} + 1$。

6. (1)(凉山州中考)如图①,等边三角形ABC的边长为4,⊙C的半径为$\sqrt{3}$,P为AB边上一动点,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为______.

(2)(衢州中考)如图②,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线$y= -\frac{3}{4}x+3$上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则线段PQ长度的最小值是______.

答案：

(1) 3 解析：连接 $CP$，$CQ$，作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$，如图①。$\because$ 等边三角形 $ABC$ 的边长为 4，$\therefore AB = CB = 4$，$∠BCH = \frac{1}{2}∠ACB = \frac{1}{2}×60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 2$，$CH = 2\sqrt{3}$。$\because PQ$ 为 $⊙C$ 的切线，$\therefore CQ ⊥ PQ$。在 $Rt△CPQ$ 中，$PQ = \sqrt{CP^2 - CQ^2} = \sqrt{CP^2 - 3}$。$\because$ 点 $P$ 是 $BC$ 边上一动点，$\therefore$ 当点 $P$ 运动到 $H$ 点时，$CP$ 最小，即 $CP$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$，$\therefore PQ$ 的最小值为 $\sqrt{12 - 3} = 3$。

(2) $2\sqrt{2}$ 解析：如图②，作 $AP ⊥$ 直线 $y = -\frac{3}{4}x + 3$，垂足为 $P$，作 $⊙A$ 的切线 $PQ$，切点为 $Q$，此时线段 $PQ$ 的长度最小。$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(-1, 0)$，设直线 $y = -\frac{3}{4}x + 3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $C$，$B$ 两点，$\therefore B(0, 3)$，$C(4, 0)$，$\therefore OB = 3$，$OC = 4$，$\therefore AC = 5$，$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = 5$，$\therefore AC = BC$。在 $△APC$ 与 $△BOC$ 中，$∠APC = ∠BOC = 90^{\circ}$，$∠ACP = ∠BCO$，$AC = BC$，$\therefore △APC ≌ △BOC$，$\therefore AP = OB = 3$，$\therefore PQ = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。