《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

13. (宁波中考)如图,$\odot O的半径OA= 2$,B 是$\odot O$上的动点(不与点 A 重合),过点 B 作$\odot O$的切线 BC,$BC= OA$,连接 OC,AC.当$\triangle OAC$是直角三角形时,其斜边长
为____.

答案：
$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}$ 解析：连接 $OB$，$\because BC$ 是$\odot O$ 的切线，$\therefore \angle OBC = 90^{\circ}$。$\because BC = OA = OB$，$\therefore OB = BC = 2$，$\therefore \triangle OBC$ 是等腰直角三角形，$\therefore \angle BCO = 45^{\circ}$。$\therefore \angle ACO \leq 45^{\circ}$。①如图①，当$\angle AOC = 90^{\circ}$，$\triangle OAC$ 是直角三角形时，$OC=\sqrt{2}OB = 2\sqrt{2}$，$\therefore AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{3}$；②如图②，当$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\triangle OAC$ 是直角三角形时，$OC=\sqrt{2}OB = 2\sqrt{2}$。综上，斜边长为$2\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}$。
　　　　

14. (青海中考)点 P 是非圆上一点,若点 P 到$\odot O$上的点的最小距离是 4 cm,最大距离是 9 cm,则$\odot O$的半径是$6.5cm$或$2.5cm$.

答案： $6.5cm$或$2.5cm$

15. 如图,菱形 ABCD 的边长是 13,点 O 是两条对角线的交点,且$OB= 12$.约定:三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离.依据这个约定,可知当$\odot C$的半径是多少时,$\triangle ABD与\odot C$的距离为 3?

答案：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore BD$ 和 $AC$ 互相垂直平分。$\because$ 菱形 $ABCD$ 的边长是 13，且 $OB = 12$，$\therefore OA = 5$，$\therefore OC = OA = 5$。如图①，当$\triangle ABD$ 在$\odot C$ 外时，由图可知，$\triangle ABD$ 的边 $BD$ 的中点 $O$ 到$\odot C$ 的距离最小。$\because \triangle ABD$ 与$\odot C$ 的距离为 3，$OC = 5$，$\therefore \odot C$ 的半径为 $5 - 3 = 2$。如图②，当$\triangle ABD$ 在$\odot C$ 内时，由图可知，点 $B$ 或点 $D$ 到$\odot C$ 的距离最小。$\because \triangle ABD$ 与$\odot C$ 的距离为 3，$CD = 13$，$\therefore \odot C$ 的半径为 $13 + 3 = 16$。综上所述，若$\triangle ABD$ 与$\odot C$ 的距离为 3，则$\odot C$ 的半径为 2 或 16。
　　　

16. $\odot O$的直径为 6 cm,如果直线 a 上的一点 C 到点 O 的距离为 3 cm,那么直线 a 与$\odot O$的位置关系是相切或相交.

答案： 相切或相交

17. 已知$l_{1}// l_{2},l_{1},l_{2}$之间的距离是 3 cm,圆心 O 到直线$l_{1}$的距离是 1 cm,如果圆 O 与直线$l_{1},l_{2}$有三个公共点,那么圆 O 的半径为2或4cm.

答案： 2或4

18. 已知$∠ABC= 45^{\circ }$,点 O 为 BC 上的一点,且$OB= 6$,若以点 O 为圆心,r 为半径的圆与射线 BA 只有一个公共点,则 r 的取值范围是$r = 3\sqrt{2}$或$r ＞ 6$.

答案： $r = 3\sqrt{2}$或$r ＞ 6$

19. (鄂州中考)如图,半径为 2 cm 的$\odot O$与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E,点 F 为正方形的中心,直线 OE 过 F 点.当正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒$(2-\sqrt {3})cm$的速度向左运动____s 时,$\odot O与正方形重叠部分的面积为(\frac {2}{3}π-\sqrt {3})cm^{2}$.

答案：
1或$(11 + 6\sqrt{3})$ 解析：如图①，当点 $A$，$B$ 落在$\odot O$ 上时，由题意易得$\triangle AOB$ 是等边三角形，$\odot O$ 与正方形重叠部分的面积为$(\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3})cm^{2}$，此时，运动时间 $t_{1}=(2-\sqrt{3})÷(2-\sqrt{3}) = 1(s)$；如图②，当点 $C$，$D$ 落在$\odot O$ 上时，由题意易得$\triangle OCD$ 是等边三角形，$\odot O$ 与正方形重叠部分的面积为$(\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3})cm^{2}$，此时，运动时间 $t_{2}=[4 + 2-(2-\sqrt{3})]÷(2-\sqrt{3})=(11 + 6\sqrt{3})s$。综上，满足条件的运动时间为 $1s$ 或$(11 + 6\sqrt{3})s$。

20. 如图,已知直线 l 的解析式是$y= \frac {4}{3}x-4$,并且与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点.一个半径为 1.5 的$\odot C$,圆心 C 从点$(0,1.5)$开始以每秒 0.5 个单位长度的速度沿着 y 轴向下运动,当$\odot C$与直线 l 相切时,求该圆运动的时间.

答案：
当$\odot C$ 在直线 $l$ 上方与直线 $l$ 相切时，如图①。设切点为 $D_{1}$，连接 $C_{1}D_{1}$，$C_{1}A$。$\because C(0,1.5)$，$\therefore OC = 1.5$，$\therefore C_{1}D_{1} = 1.5$。在 $y=\frac{4}{3}x - 4$ 中，当 $y = 0$ 时，$x = 3$；当 $x = 0$ 时，$y = - 4$。$\therefore A(3,0)$，$B(0,-4)$，$\therefore OA = 3$，$OB = 4$。在 $Rt\triangle OAB$ 中，由勾股定理得 $AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。$\because S_{\triangle ABC_{1}}=\frac{1}{2}BC_{1}·OA=\frac{1}{2}AB·C_{1}D_{1}$，$\therefore BC_{1}×3 = 5×1.5$，解得 $BC_{1} = 2.5$，$\therefore OC_{1}=OB - BC_{1}=4 - 2.5 = 1.5$，$\therefore CC_{1}=OC + OC_{1}=1.5 + 1.5 = 3$。$\therefore \odot C$ 运动的时间为 $3÷0.5 = 6$（秒）。
　　　　 　
当$\odot C$ 在直线 $l$ 下方与直线 $l$ 相切时，如图②。设切点为 $D_{2}$，连接 $C_{2}D_{2}$，$C_{2}A$。$\because S_{\triangle ABC_{2}}=\frac{1}{2}BC_{2}·OA=\frac{1}{2}AB·C_{2}D_{2}$，$\therefore BC_{2}×3 = 5×1.5$，解得 $BC_{2} = 2.5$，$\therefore CC_{2}=OC + OB + BC_{2}=1.5 + 4 + 2.5 = 8$，$\therefore \odot C$ 运动的时间为 $8÷0.5 = 16$（秒）。综上，$\odot C$ 运动的时间为 6 秒或 16 秒。