《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 如图,若干个全等的正五边形排成环状。图中所示的是前 3 个正五边形,要完成这一圆环,还需正五边形的个数为(B)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： B

2. (2024·昭通月考)刘徽是中国古代卓越数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积。如图,$\odot O$的半径为 6,则$\odot O$的内接正六边形 ABCDEF 的面积为____54√3。(结果保留根号)

答案： $ 54 \sqrt { 3 } $

3. 把一张圆形纸片和一张含$45^{\circ }$角的扇形纸片按如图所示的方式分别剪得一个正方形,如果所剪得的两个正方形边长相等,扇形的半径为$\sqrt {5}$,那么圆形纸片的面积是$\frac{1}{2}\pi$。

答案： $ \frac { 1 } { 2 } \pi $

4. 图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形。如图②,AE 是$\odot O$的直径,用直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形 ABCDEFGH。(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
如图所示，正八边形 $ ABCDEFGH $ 即为所求。

5. 某课题学习小组在探讨一团周长为 4a 的线圈时,发现了如下两个命题：
命题 1：如图①,当线圈做成正三角形 ABC 时,能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住。
命题 2：如图②,当线圈做成正方形 ABCD 时,能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住。
请你继续探究下列几个问题：
(1)如图③,当线圈做成正五边形 ABCDE 时,请说明它能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住。
(2)如图④,当线圈做成平行四边形 ABCD 时,能否被半径为 a 的圆形纸片完全盖住？请说明理由。
(3)如图⑤,当线圈做成任意形状的图形时,是否还能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住？请说明理由。

答案：

(1) 如图①，设正五边形 $ ABCDE $ 的外接圆圆心为 $ O $，
∵ 五边形 $ ABCDE $ 是正五边形，
∴ $ \angle AOB = 72 ^ { \circ } $，$ \angle OAB = \angle OBA = 54 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle OBA ＜ \angle AOB $，
∴ $ OA ＜ AB = \frac { 4 } { 5 } a ＜ a $。同理，$ OB = OC = OD = OE ＜ a $。
∴ 正五边形 $ ABCDE $ 能被以点 $ O $ 为圆心，半径为 $ a $ 的圆形纸片完全盖住。
　　　　
(2) 当线圈做成平行四边形 $ ABCD $ 时，能被半径为 $ a $ 的圆形纸片完全盖住。理由如下：连接 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，
∵ $ OB + OD ＜ AB + AD = 2 a $，
∴ $ OB = OD ＜ a $。同理，$ OA = OC ＜ a $，
∴ 平行四边形 $ ABCD $ 能被以点 $ O $ 为圆心，半径为 $ a $ 的圆形纸片完全盖住。
(3) 当线圈做成任意形状的图形时，能被半径为 $ a $ 的圆形纸片完全盖住。理由如下：如图②，取曲线上两点 $ A $，$ B $，使曲线分成相等的两部分，连接 $ AB $，在其中一部分上任取一点 $ C $，连接 $ AC $，$ BC $，$ CO $（$ O $ 为 $ AB $ 的中点），则有 $ OC ＜ \frac { 1 } { 2 } ( A C + B C ) ＜ a $，
∴ 当线圈做成任意形状的图形时，都可以被半径为 $ a $ 的圆形纸片完全盖住。