《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

12. (金华中考)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB + BC = 10 m,拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在点B处,小狗在不能进入小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积为$S(m^2).$

(1)如图①,若BC = 4 m,则$S = ______m^2;$
(2)如图②,现考虑在图①中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边△CDE区域,使之变成落地为五边形ABCED的小屋,其他条件不变,则在BC的变化过程中,当S取得最小值时,边BC的长为______m.

答案：

(1) 88π
(2) $\frac{5}{2}$
解析：
(1) 拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在点B处，小狗可以活动的区域如图①所示。由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心，10 m为半径的$\frac{3}{4}$圆，以C为圆心，6 m为半径的$\frac{1}{4}$圆和以A为圆心，4 m为半径的$\frac{1}{4}$圆的面积和，
∴S = $\frac{3}{4}\pi \cdot 10^{2} + \frac{1}{4}\pi \cdot 6^{2} + \frac{1}{4}\pi \cdot 4^{2} = 88\pi(m^{2})$。

(2) 如图②，设BC = x m，则AB = (10 - x) m，
∴S = $\frac{3}{4}\pi \cdot 10^{2} + \frac{1}{4}\pi \cdot x^{2} + \frac{30}{360} \cdot \pi \cdot (10 - x)^{2} = \frac{\pi}{3}(x^{2} - 5x + 250) = \frac{\pi}{3}(x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{325\pi}{4}$，当x = $\frac{5}{2}$时，S取得最小值，即BC = $\frac{5}{2}$ m时，S取得最小值。

13. (天津中考)在平面直角坐标系中,O为原点,△OAB是等腰直角三角形,∠OBA = 90°,BO = BA,顶点A(4,0),点B在第一象限,矩形OCDE的顶点E(-$\frac{7}{2}$,0),点C在y轴的正半轴上,点D在第二象限,射线DC经过点B.
(1)如图①,求点B的坐标.
(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移,得到矩形O'C'D'E',点O,C,D,E的对应点分别为O',C',D',E'.设OO' = t,矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②,当点E'在x轴正半轴上,且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时,D'E'与OB相交于点F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②当$\frac{5}{2}$ ≤ t ≤ $\frac{9}{2}$时,求S的取值范围.

答案：

(1) 如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，由点A(4, 0)，得OA = 4，
∵BO = BA，∠OBA = 90°，

∴OH = BH = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$，
∴点B的坐标为(2, 2)。
(2) ① 由点E(-$\frac{7}{2}$, 0)，得OE = $\frac{7}{2}$，由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D' = 90°，O'E' = OE = $\frac{7}{2}$，
∴OE' = OO' - O'E' = t - $\frac{7}{2}$，∠FE'O = 90°。
∵BO = BA，∠OBA = 90°，
∴∠BOA = ∠BAO = 45°，
∴∠OFE' = 90° - ∠BOA = 45°，
∴∠FOE' = ∠OFE'，
∴FE' = OE' = t - $\frac{7}{2}$，
∴S△FOE' = $\frac{1}{2}$OE'·FE' = $\frac{1}{2}(t - \frac{7}{2})^{2}$，
∴S = S△OAB - S△FOE' = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 - \frac{1}{2}(t - \frac{7}{2})^{2}$，即S = -$\frac{1}{2}$t² + $\frac{7}{2}$t - $\frac{17}{8}$(4 ≤ t ＜ $\frac{11}{2}$)。
② 当4 ＜ t ≤ $\frac{9}{2}$时，由①知S = -$\frac{1}{2}$t² + $\frac{7}{2}$t - $\frac{17}{8} = -\frac{1}{2}(t - \frac{7}{2})^{2} + 4$，
∴当t = 4时，S有最大值为$\frac{31}{8}$，当t = $\frac{9}{2}$时，S有最小值为$\frac{7}{2}$，
∴此时$\frac{7}{2} \leq S ＜ \frac{31}{8}$；
当$\frac{7}{2} ＜ t \leq 4$时，如图②，令O'C'与AB交于点M，D'E'与OB交于点N，
∴S = S△OAB - S△OE'N - S△O'AM = 4 - $\frac{1}{2}(t - \frac{7}{2})^{2} - \frac{1}{2}(4 - t)^{2} = -t^{2} + \frac{15}{2}t - \frac{81}{8} = -(t - \frac{15}{4})^{2} + \frac{63}{16}$，此时，当t = $\frac{15}{4}$时，S有最大值为$\frac{63}{16}$，当t = 4时，S有最小值为$\frac{31}{8}$，
∴$\frac{31}{8} \leq S \leq \frac{63}{16}$；
当$\frac{5}{2} \leq t \leq \frac{7}{2}$时，如图③，令O'C'与AB交于点M'，此时点D'位于第二象限，

∴S = S△OAB - S△O'AM' = 4 - $\frac{1}{2}(4 - t)^{2} = -\frac{1}{2}(t - 4)^{2} + 4$，此时，当t = $\frac{5}{2}$时，S有最小值为$\frac{23}{8}$，当t = $\frac{7}{2}$时，S有最大值为$\frac{31}{8}$，
∴$\frac{23}{8} \leq S \leq \frac{31}{8}$。
综上，S的取值范围为$\frac{23}{8} \leq S \leq \frac{63}{16}$。