《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 下列函数是二次函数的是 (C)
A. $ y = x ^ { 2 } - x ( x + 2 ) $
B. $ y = \sqrt { x - 3 } $
C. $ x = y ^ { 2 } $
D. $ y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + 3 x $

答案： C

2. 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A O B $ 中,$ A B \perp O B $,且 $ A B = O B = 3 $,设直线 $ x = t $ 截此三角形所得阴影部分的面积为 $ S $,则 $ S $ 与 $ t $ 之间的函数解析式为 (B)

A. $ S = t ( 0 ＜ t \leq 3 ) $
B. $ S = \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } ( 0 ＜ t \leq 3 ) $
C. $ S = t ^ { 2 } ( 0 ＜ t \leq 3 ) $
D. $ S = \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } - 1 ( 0 ＜ t \leq 3 ) $

答案： B

3. (东营中考)一次函数 $ y = a x + b ( a \neq 0 ) $ 与二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (C)

答案： C

4. (玉林中考)小嘉说:将二次函数 $ y = x ^ { 2 } $ 的图象平移或翻折后经过点 $ ( 2, 0 ) $ 有 4 种方法:①向右平移 2 个单位长度;②向右平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度;③向下平移 4 个单位长度;④沿 $ x $ 轴翻折,再向上平移 4 个单位长度.小嘉说的方法中正确的有 (D)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： D

5. (泸州中考)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + 2 a x + 3 a ^ { 2 } + 3 $(其中 $ x $ 是自变量),当 $ x \geq 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,且 $ - 2 \leq x \leq 1 $ 时,$ y $ 的最大值为 9,则 $ a $ 的值为 (D)
A. 1 或 - 2
B. $ - \sqrt { 2 } $ 或 $ \sqrt { 2 } $
C. $ \sqrt { 2 } $
D. 1

答案： D

6. (乐山中考)二次函数 $ y = x ^ { 2 } + ( a - 2 ) x + 3 $ 的图象与一次函数 $ y = x ( 1 \leq x \leq 2 ) $ 的图象有且仅有一个交点,则实数 $ a $ 的取值范围是 (D)
A. $ a = 3 \pm 2 \sqrt { 3 } $
B. $ a = 3 + 2 \sqrt { 3 } $ 或 $ - \frac { 1 } { 2 } \leq a ＜ 2 $
C. $ - 1 \leq a ＜ 2 $
D. $ a = 3 - 2 \sqrt { 3 } $ 或 $ - 1 \leq a ＜ - \frac { 1 } { 2 } $

答案： D

7. (2024·雅安中考)已知一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 有两实根 $ x _ { 1 } = - 1 $, $ x _ { 2 } = 3 $,且 $ a b c ＞ 0 $,则下列结论中正确的有 (B)
① $ 2 a + b = 0 $;
②抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的顶点坐标为 $ \left( 1, \frac { 4 c } { 3 } \right) $;
③ $ a ＜ 0 $;
④若 $ m ( a m + b ) ＜ 4 a + 2 b $,则 $ 0 ＜ m ＜ 1 $.
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： B

8. (绵阳中考)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为 10 米,孔顶离水面 1.5 米;当水位下降,大孔水面宽度为 14 米时,单个小孔的水面宽度为 4 米,若大孔水面宽度为 20 米,则单个小孔的水面宽度为 ( )

A. $ 4 \sqrt { 3 } $ 米
B. $ 5 \sqrt { 2 } $ 米
C. $ 2 \sqrt { 13 } $ 米
D. 7 米

答案：
B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 $MN = 4$，$EF = 14$，$BC = 10$，$DO=\frac{3}{2}$，设大孔所在抛物线的解析式为 $y = ax^{2}+\frac{3}{2}$。

$\because BC = 10$，$\therefore$ 点 $B(-5,0)$，$\therefore 0 = a×(-5)^{2}+\frac{3}{2}$，$\therefore a = -\frac{3}{50}$，$\therefore$ 大孔所在抛物线的解析式为 $y = -\frac{3}{50}x^{2}+\frac{3}{2}$。设点 $A(b,0)$，则设顶点为 $A$ 的小孔所在抛物线的解析式为 $y = m(x - b)^{2}$。$\because EF = 14$，$\therefore$ 点 $E$ 的横坐标为 $-7$，$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $\left(-7,-\frac{36}{25}\right)$，$\therefore -\frac{36}{25}=m(x - b)^{2}$，$\therefore x_{1}=\frac{6}{5}\sqrt{-\frac{1}{m}}+b$，$x_{2}=-\frac{6}{5}\sqrt{-\frac{1}{m}}+b$。$\because MN = 4$，$\therefore \left|\frac{6}{5}\sqrt{-\frac{1}{m}}+b-\left(-\frac{6}{5}\sqrt{-\frac{1}{m}}+b\right)\right| = 4$，$\therefore m = -\frac{9}{25}$，$\therefore$ 顶点为 $A$ 的小孔所在抛物线的解析式为 $y = -\frac{9}{25}(x - b)^{2}$。当大孔水面宽度为 $20$ 米，即 $x = -10$ 时，$y = -\frac{9}{2}$，$\therefore -\frac{9}{2}=-\frac{9}{25}\cdot(x - b)^{2}$，$\therefore x_{1}=\frac{5}{2}\sqrt{2}+b$，$x_{2}=-\frac{5}{2}\sqrt{2}+b$，$\therefore$ 单个小孔的水面宽度为 $\left|\left(\frac{5}{2}\sqrt{2}+b\right)-\left(-\frac{5}{2}\sqrt{2}+b\right)\right| = 5\sqrt{2}$（米），故选 B。

9. 已知函数 $ y = ( m ^ { 2 } - 3 m ) x ^ { m ^ { 2 } - 2 m - 1 } $ 的图象是一条抛物线,则 $ m = $____-1.

答案： $-1$

10. (贺州中考改编)如图,已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + c $ 与直线 $ y = k x + m $ 交于 $ A ( - 3, y _ { 1 } ) $,$ B ( 1, y _ { 2 } ) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ a x ^ { 2 } + c \geq - k x + m $ 的解集是$-1\leqslant x\leqslant 3$.

答案： $-1\leqslant x\leqslant 3$