《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

7. 在平面直角坐标系中,函数 $ y = x^{2}-2x(x\geqslant 0) $ 的图象为 $ C_{1} $,$ C_{1} $ 关于原点对称的图象为 $ C_{2} $,则直线 $ y = a $ ( $ a $ 为常数) 与 $ C_{1} $,$ C_{2} $ 的交点共有 (C)
A. 1 个
B. 1 或 2 个
C. 1,2 或 3 个
D. 1,2,3 或 4 个

答案： C

8. 如图,抛物线 $ m:y = ax^{2}+b(a＜0,b＞0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,$ B $ (点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 将抛物线 $ m $ 绕点 $ B $ 旋转 $ 180^{\circ} $,得到新的抛物线 $ n $,它的顶点为 $ C_{1} $,与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ A_{1} $. 若四边形 $ AC_{1}A_{1}C $ 为矩形,则 $ a $,$ b $ 应满足的关系式为 ($ab=-3$)
A. $ ab = - 2 $
B. $ ab = - 3 $
C. $ ab = - 4 $
D. $ ab = - 5 $

答案： B 解析: 令 $x = 0$ , 得 $y = b$ ,$\therefore C ( 0 , b )$ . 令 $y = 0$ , 得 $x = \pm \sqrt { - \frac { b } { a } }$ ,$\therefore A \left( - \sqrt { - \frac { b } { a } } , 0 \right)$ , $B \left( \sqrt { - \frac { b } { a } } , 0 \right)$ ,$\therefore A B = 2 \sqrt { - \frac { b } { a } }$ , $B C = \sqrt { O C ^ { 2 } + O B ^ { 2 } } = \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b } { a } }$ . 若平行四边形 $A C _ { 1 } A _ { 1 } C$ 是矩形, 则必须满足 $A B = B C$ ,$\therefore 2 \sqrt { - \frac { b } { a } } = \sqrt { b ^ { 2 } - \frac { b } { a } }$ ,$\therefore a b = - 3$ .

9. 如图,一段抛物线 $ y = -x(x - 3)(0\leqslant x\leqslant 3) $,记为 $ C_{1} $,它与 $ x $ 轴交于点 $ O $,$ A_{1} $；将 $ C_{1} $ 绕点 $ A_{1} $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ C_{2} $,交 $ x $ 轴于点 $ A_{2} $；将 $ C_{2} $ 绕点 $ A_{2} $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ C_{3} $,交 $ x $ 轴于点 $ A_{3}…… $ 如此进行下去,直至得到 $ C_{13} $. 若 $ P(37,m) $ 在第 13 段抛物线 $ C_{13} $ 上,则 $ m = $2.

答案： 2

10. (岳阳中考改编) 如图①,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ F_{1}:y = x^{2}+bx + c $ 经过点 $ A(-3,0) $ 和点 $ B(1,0) $.
(1) 求抛物线 $ F_{1} $ 的解析式.
(2) 如图②,作抛物线 $ F_{2} $,把抛物线 $ F_{1} $ 绕原点旋转 $ 180^{\circ} $ 得到抛物线 $ F_{2} $,请直接写出抛物线 $ F_{2} $ 的解析式.
(3) 如图③,将 (2) 中抛物线 $ F_{2} $ 向上平移 2 个单位长度,得到抛物线 $ F_{3} $,抛物线 $ F_{1} $ 与抛物线 $ F_{3} $ 相交于 $ C $,$ D $ 两点 (点 $ C $ 在点 $ D $ 的左侧).
①求点 $ C $ 和点 $ D $ 的坐标；
②若点 $ M $,$ N $ 分别为抛物线 $ F_{1} $ 和抛物线 $ F_{3} $ 上 $ C $,$ D $ 之间的动点 (点 $ M $,$ N $ 与点 $ C $,$ D $ 不重合),试求四边形 $ CMDN $ 面积的最大值.

答案：

(1) 将点 $A ( - 3,0 )$ 和点 $B ( 1,0 )$ 代入 $y = x ^ { 2 } + b x + c$ 得 $\begin{cases} 9 - 3 b + c = 0 \\ 1 + b + c = 0 \end{cases}$ ，解得 $\begin{cases} b = 2 \\ c = - 3 \end{cases}$ ，$\therefore y = x ^ { 2 } + 2 x - 3$ .
(2) $y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3$ .
(3) ①由题意可得抛物线 $F$ 的解析式为 $y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 6 = - x ^ { 2 } + 2 x + 5$ ，联立方程组 $\begin{cases} y = - x ^ { 2 } + 2 x + 5 \\ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 \end{cases}$ ，解得 $x = 2$ 或 $x = - 2$ ，$\therefore C ( - 2 , - 3 )$ ， $D ( 2,5 )$ .
②设直线 $C D$ 的解析式为 $y = k x + b$ ，$\therefore \begin{cases} - 2 k + b = - 3 \\ 2 k + b = 5 \end{cases}$ ，解得 $\begin{cases} k = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ ，$\therefore y = 2 x + 1$ . 如图, 过点 $M$ 作 $M F // y$ 轴交 $C D$ 于点 $F$ ，过点 $N$ 作 $N E // y$ 轴交 $C D$ 于点 $E$ ，设 $M ( m , m ^ { 2 } + 2 m - 3 )$ ， $N ( n , - n ^ { 2 } + 2 n + 5 )$ ，则 $F ( m , 2 m + 1 )$ ， $E ( n , 2 n + 1 )$ ，$\therefore M F = 2 m + 1 - ( m ^ { 2 } + 2 m - 3 ) = - m ^ { 2 } + 4$ ， $N E = - n ^ { 2 } + 2 n + 5 - 2 n - 1 = - n ^ { 2 } + 4$ .$\because - 2 ＜ m ＜ 2$ ， $- 2 ＜ n ＜ 2$ ，$\therefore$ 当 $m = 0$ 时， $M F$ 有最大值 4 ，当 $n = 0$ 时， $N E$ 有最大值 4 .$\because S _ { \text { 四边形 } C M D N } = S _ { \triangle C D N } + S _ { \triangle C D M } = \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times ( M F + N E ) = 2 ( M F + N E )$ ，$\therefore$ 当 $M F + N E$ 最大时，四边形 $C M D N$ 面积的最大值为 16 .