《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·北京中考)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知抛物线 $ y = ax ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } x ( a \neq 0 ) $.
(1)当 $ a = 1 $ 时,求抛物线的顶点坐标;
(2)已知 $ M ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $ 和 $ N ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 是抛物线上的两点.若对于 $ x _ { 1 } = 3 a, 3 \leq x _ { 2 } \leq 4 $,都有 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,求 $ a $ 的取值范围.

答案：

(1) 把 $ a = 1 $ 代入 $ y = ax^{2} - 2a^{2}x $ 得， $ y = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1 $，
∴ 抛物线的顶点坐标为 $ (1, -1) $。
(2) 分两种情况：抛物线的对称轴是直线 $ x = -\frac{-2a^{2}}{2a} = a $；当 $ a ＞ 0 $ 时，如图①，此时 $ 3a ＜ 3 $，
∴ $ a ＜ 1 $，又 $ \because a ＞ 0 $，
∴ $ 0 ＜ a ＜ 1 $；当 $ a ＜ 0 $ 时，如图②，此时 $ -a ＞ 4 $，解得 $ a ＜ -4 $，又 $ \because a ＜ 0 $，
∴ $ a ＜ -4 $；综上， $ a $ 的取值范围为 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 或 $ a ＜ -4 $。
　　　　 　　

2. (2024·长沙中考改编)已知两个不同的点 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 都在关于 $ x $ 的函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ ( $ a, b, c $ 是常数, $ a \neq 0 $ ) 的图象上.
(1)当 $ A, B $ 两点的坐标分别为 $ ( - 1, - 4 ), ( 3, 4 ) $ 时,求代数式 $ 2024 a + 1012 b + \frac { 3 } { 7 } $ 的值;$2024\frac{3}{7}$
(2)当 $ A, B $ 两点的坐标满足 $ a ^ { 2 } + 2 ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) a + 4 y _ { 1 } y _ { 2 } = 0 $ 时,请你判断此函数图象与 $ x $ 轴的公共点的个数,并说明理由.两个，理由：由 $ a^{2} + 2(y_{1} + y_{2})a + 4y_{1}y_{2} = 0 $，得 $ (a + 2y_{1})(a + 2y_{2}) = 0 $，可得 $ y_{1} = -\frac{a}{2} $ 或 $ y_{2} = -\frac{a}{2} $。当 $ a ＞ 0 $ 时， $ -\frac{a}{2} ＜ 0 $，此抛物线开口向上，而 $ A $， $ B $ 两点之中至少有一个点在 $ x $ 轴的下方，此时该函数图象与 $ x $ 轴有两个公共点；当 $ a ＜ 0 $ 时， $ -\frac{a}{2} ＞ 0 $，此抛物线开口向下，而 $ A $， $ B $ 两点之中至少有一个点在 $ x $ 轴的上方，此时该函数图象与 $ x $ 轴也有两个公共点。综上所述，此函数图象与 $ x $ 轴必有两个公共点。

答案：
(1) 将 $ A(-1, -4) $， $ B(3, 4) $ 代入 $ y = ax^{2} + bx + c $ 得 $ \begin{cases} a - b + c = -4 & ① \\ 9a + 3b + c = 4 & ② \end{cases} $，② - ① 得 $ 8a + 4b = 8 $，即 $ 2a + b = 2 $。所以 $ 2024a + 1012b + \frac{3}{7} = 1012(2a + b) + \frac{3}{7} = 2024\frac{3}{7} $。
(2) 此函数图象与 $ x $ 轴的公共点个数为两个。理由：由 $ a^{2} + 2(y_{1} + y_{2})a + 4y_{1}y_{2} = 0 $，得 $ (a + 2y_{1})(a + 2y_{2}) = 0 $，可得 $ y_{1} = -\frac{a}{2} $ 或 $ y_{2} = -\frac{a}{2} $。当 $ a ＞ 0 $ 时， $ -\frac{a}{2} ＜ 0 $，此抛物线开口向上，而 $ A $， $ B $ 两点之中至少有一个点在 $ x $ 轴的下方，此时该函数图象与 $ x $ 轴有两个公共点；当 $ a ＜ 0 $ 时， $ -\frac{a}{2} ＞ 0 $，此抛物线开口向下，而 $ A $， $ B $ 两点之中至少有一个点在 $ x $ 轴的上方，此时该函数图象与 $ x $ 轴也有两个公共点。综上所述，此函数图象与 $ x $ 轴必有两个公共点。
一题多解
方法 2：由 $ a^{2} + 2(y_{1} + y_{2})a + 4y_{1}y_{2} = 0 $，得 $ (a + 2y_{1})(a + 2y_{2}) = 0 $，可得 $ y_{1} = -\frac{a}{2} $ 或 $ y_{2} = -\frac{a}{2} $，所以抛物线上存在纵坐标为 $ -\frac{a}{2} $ 的点，即一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = -\frac{a}{2} $ 有解，所以该方程根的判别式 $ \Delta = b^{2} - 4a(c + \frac{a}{2}) \geq 0 $，即 $ b^{2} - 4ac \geq 2a^{2} $。因为 $ a \neq 0 $，所以 $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $。所以原函数图象与 $ x $ 轴必有两个公共点。
方法 3：由 $ a^{2} + 2(y_{1} + y_{2})a + 4y_{1}y_{2} = 0 $，可得 $ y_{1} = -\frac{a}{2} $ 或 $ y_{2} = -\frac{a}{2} $。当 $ y_{1} = -\frac{a}{2} $ 时，有 $ ax_{1}^{2} + bx_{1} + c = -\frac{a}{2} $，即 $ ax_{1}^{2} + bx_{1} + \frac{a}{2} = -c $，所以 $ \Delta = b^{2} - 4ac = b^{2} + 4a(ax_{1}^{2} + bx_{1} + \frac{a}{2}) = 2a^{2} + (2ax_{1} + b)^{2} ＞ 0 $。此时该函数图象与 $ x $ 轴有两个公共点。当 $ y_{2} = -\frac{a}{2} $ 时，同理可得 $ \Delta ＞ 0 $，此时该函数图象与 $ x $ 轴也有两个公共点。综上所述，该函数图象与 $ x $ 轴必有两个公共点。

3. (2023·丽水中考)已知点 $ ( - m, 0 ) $ 和 $ ( 3 m, 0 ) $ 在二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 $ ( $ a, b $ 是常数, $ a \neq 0 $ ) 的图象上.
(1)当 $ m = - 1 $ 时,求 $ a $ 和 $ b $ 的值;
解：当 $ m = -1 $ 时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 图象过点 $ (1, 0) $ 和 $ (-3, 0) $，∴ $ \begin{cases} a + b + 3 = 0 \\ 9a - 3b + 3 = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = -1 \\ b = -2 \end{cases} $。
(2)若二次函数的图象经过点 $ A ( n, 3 ) $ 且点 $ A $ 不在坐标轴上,当 $ - 2 ＜ m ＜ - 1 $ 时,求 $ n $ 的取值范围;
解：$ \because y = ax^{2} + bx + 3 $ 的图象过点 $ (-m, 0) $ 和 $ (3m, 0) $，∴ 抛物线的对称轴为直线 $ x = m $。 $ \because y = ax^{2} + bx + 3 $ 的图象过点 $ A(n, 3) $， $ (0, 3) $，且点 $ A $ 不在坐标轴上，∴ 由图象的对称性得 $ n = 2m $，∴ $ m = \frac{n}{2} $。 $ \because -2 ＜ m ＜ -1 $，∴ $ -2 ＜ \frac{n}{2} ＜ -1 $，∴ $ -4 ＜ n ＜ -2 $。
(3)求证: $ b ^ { 2 } + 4 a = 0 $。
证明：由 (2) 得 $ -\frac{b}{2a} = m $，∴ $ b = -2am $，把 $ (-m, 0) $， $ (3m, 0) $ 代入 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 得 $ \begin{cases} am^{2} - bm + 3 = 0 & ① \\ 9am^{2} + 3bm + 3 = 0 & ② \end{cases} $，① $ × 3 + $ ②，得 $ 12am^{2} + 12 = 0 $，∴ $ am^{2} + 1 = 0 $，∴ $ b^{2} + 4a = (-2am)^{2} + 4a = 4a(am^{2} + 1) = 4a × 0 = 0 $。

答案：
(1) 当 $ m = -1 $ 时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 图象过点 $ (1, 0) $ 和 $ (-3, 0) $，
∴ $ \begin{cases} a + b + 3 = 0 \\ 9a - 3b + 3 = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = -1 \\ b = -2 \end{cases} $。
(2) $ \because y = ax^{2} + bx + 3 $ 的图象过点 $ (-m, 0) $ 和 $ (3m, 0) $，
∴ 抛物线的对称轴为直线 $ x = m $。 $ \because y = ax^{2} + bx + 3 $ 的图象过点 $ A(n, 3) $， $ (0, 3) $，且点 $ A $ 不在坐标轴上，
∴ 由图象的对称性得 $ n = 2m $，
∴ $ m = \frac{n}{2} $。 $ \because -2 ＜ m ＜ -1 $，
∴ $ -2 ＜ \frac{n}{2} ＜ -1 $，
∴ $ -4 ＜ n ＜ -2 $。
(3) 由
(2) 得 $ -\frac{b}{2a} = m $，
∴ $ b = -2am $，把 $ (-m, 0) $， $ (3m, 0) $ 代入 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 得 $ \begin{cases} am^{2} - bm + 3 = 0 & ① \\ 9am^{2} + 3bm + 3 = 0 & ② \end{cases} $，① $ \times 3 + $ ②，得 $ 12am^{2} + 12 = 0 $，
∴ $ am^{2} + 1 = 0 $，
∴ $ b^{2} + 4a = (-2am)^{2} + 4a = 4a(am^{2} + 1) = 4a \times 0 = 0 $。

4. (2024·内蒙古中考)在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 2 b x - 4 $ 经过点 $ ( - 1, m ) $.
(1)若 $ m = 1 $,则 $ b = $2,通过配方可以将其化成顶点式为$ y=(x-2)^2-8 $.
(2)已知点 $ ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 在抛物线上,其中 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $.若 $ m ＞ 0 $ 且 $ 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } \leq 5 $,比较 $ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的大小关系,并说明理由.
(3)若 $ b = 0 $,将抛物线向上平移 4 个单位得到的新抛物线与直线 $ y = k x + \frac { 1 } { 4 } $ 交于 $ A, B $ 两点,直线与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ E $ 为 $ A C $ 中点,过点 $ E $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为点 $ F $,连接 $ A F, C F $.求证: $ C F ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } C E $.

答案：
(1) $ 2 $ $ y = (x - 2)^{2} - 8 $ 解析： $ \because $ 抛物线 $ y = x^{2} - 2bx - 4 $ 经过点 $ (-1, m) $，且 $ m = 1 $，
∴ 将点 $ (-1, 1) $ 代入 $ y = x^{2} - 2bx - 4 $ 得 $ 1 + 2b - 4 = 1 $，解得 $ b = 2 $，则 $ y = x^{2} - 4x - 4 $ 化成顶点式为 $ y = (x - 2)^{2} - 8 $。
(2) $ y_{1} ＞ y_{2} $，理由如下： $ \because $ 抛物线 $ y = x^{2} - 2bx - 4 $ 经过点 $ (-1, m) $，
∴ $ m = 1 + 2b - 4 $。 $ \because m ＞ 0 $，
∴ $ 1 + 2b - 4 ＞ 0 $，即 $ b ＞ \frac{3}{2} $，二次函数 $ y = x^{2} - 2bx - 4 = (x - b)^{2} - 4 - b^{2} $ 的对称轴为直线 $ x = b ＞ \frac{3}{2} $。 $ \because 2x_{1} + 2x_{2} \leq 5 $，
∴ $ \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \leq \frac{5}{4} $，
∴ $ \frac{x_{1} + x_{2}}{2} ＜ b $。又 $ \because x_{1} ＜ x_{2} $，
∴ 点 $ (x_{1}, y_{1}) $ 到对称轴的距离大于 $ (x_{2}, y_{2}) $ 到对称轴的距离。又 $ \because $ 抛物线的开口向上，
∴ $ y_{1} ＞ y_{2} $。
(3) 若 $ b = 0 $，则 $ y = x^{2} - 4 $，将 $ y = x^{2} - 4 $ 向上平移 $ 4 $ 个单位得到新抛物线 $ y = x^{2} - 4 + 4 = x^{2} $， $ \because $ 抛物线 $ y = x^{2} $ 与直线 $ y = kx + \frac{1}{4} $ 交于点 $ A $，
∴ 设点 $ A $ 的坐标为 $ A(n, n^{2}) $，将 $ x = 0 $ 代入 $ y = kx + \frac{1}{4} $，得 $ y = \frac{1}{4} $，
∴ $ C(0, \frac{1}{4}) $。 $ \because $ 点 $ E $ 为 $ AC $ 中点，
∴ $ E(\frac{n}{2}, \frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{8}) $。 $ \because EF \perp x $ 轴于点 $ F $，
∴ $ F(\frac{n}{2}, 0) $，
∴ $ CF^{2} = (\frac{n}{2} - 0)^{2} + (0 - \frac{1}{4})^{2} = \frac{n^{2}}{4} + \frac{1}{16} $， $ \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}\sqrt{(\frac{n}{2} - 0)^{2} + (\frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4})^{2}} = \frac{1}{2}(\frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{8}) = \frac{n^{2}}{4} + \frac{1}{16} $，
∴ $ CF^{2} = \frac{1}{2}CE $。