《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

9. (福建中考)已知关于x的一元二次方程$(a+1)x^{2}+2bx+a+1= 0$有两个相等的实数根,下列判断正确的是 (D)
A. 1一定不是关于x的方程$x^{2}+bx+a= 0$的根
B. 0一定不是关于x的方程$x^{2}+bx+a= 0$的根
C. 1和-1都是关于x的方程$x^{2}+bx+a= 0$的根
D. 1和-1不都是关于x的方程$x^{2}+bx+a= 0$的根

答案： D

10. (枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程$x^{2}-6x+n= 0$的两个根,则n的值为8或9.

答案： 8或9

11. (2023·广安中考改编)若关于x的一元二次方程$ax^{2}-x-\frac {1}{4}= 0(a≠0)$有两个不相等的实数根,则点$P(a+1,-a-3)$在第四象限.

答案： 四

12. 实数m既能使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-m＞0,\\ 2-x＞3\end{array}\right. $无解,又能使关于x的一元二次方程$(m-1)x^{2}-4x+1= 0$有两个实数根,则m的取值范围是$-1\leqslant m\leqslant 5$且$m\neq 1$.

答案： $-1\leqslant m\leqslant 5$且$m\neq 1$

13. (2024·商丘期中)已知▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程$2x^{2}-2mx+m-\frac {1}{2}= 0$的两个实数根.
(1)当m为1时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)若$AB= 2$,求▱ABCD的周长为5.

答案：
(1)$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB = AD$.$\because AB$,$AD$的长是关于$x$的方程$2x^{2}-2mx + m-\frac{1}{2}=0$的两个实数根,$\therefore \Delta =(-2m)^{2}-4× 2(m-\frac{1}{2})=4(m - 1)^{2}=0$,解得$m_{1}=m_{2}=1$,$\therefore$当$m = 1$时,四边形$ABCD$是菱形.将$m = 1$代入原方程,得$2x^{2}-2x+\frac{1}{2}=0$,整理得$2(x-\frac{1}{2})^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$,$\therefore$菱形$ABCD$的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)把$x = 2$代入原方程得$8-4m + m-\frac{1}{2}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$.将$m=\frac{5}{2}$代入原方程,得$2x^{2}-5x + 2 = 0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{1}{2}$,$\therefore AD=\frac{1}{2}$,$\therefore □ ABCD$的周长$=2×(2+\frac{1}{2})=5$.

14. 改编题 (1)已知关于x的方程$(1-2k)x^{2}-2\sqrt {k+1}x-1= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是$-1\leqslant k\lt 2$且$k\neq\frac{1}{2}$.
(2)若关于x的方程$x^{2}+2(1+a)x+3a^{2}+4ab+4b^{2}+2= 0$有实数根,则$\frac {b}{a}=$$-\frac{1}{2}$.
(3)已知关于x的方程$(k-2)x^{2}+(1-2k)x+k= 0$有实数根,则k的取值范围是$k\geqslant-\frac{1}{4}$.

答案：
(1)$-1\leqslant k\lt 2$且$k\neq\frac{1}{2}$
(2)$-\frac{1}{2}$
(3)$k\geqslant-\frac{1}{4}$

15. 已知关于x的两个一元二次方程:
方程①:$(1+\frac {k}{2})x^{2}+(k+2)x-1= 0;$
方程②:$x^{2}+(2k+1)x-2k-3= 0.$
(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②.
解：方程②的解为$x_{1}=\frac{7+\sqrt{29}}{2}$，$x_{2}=\frac{7-\sqrt{29}}{2}$
(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根.
解：此时方程①没有实数根.
(3)若方程①和②有一个公共根a,求代数式$(a^{2}+4a-2)k+3a^{2}+5a$的值.
解：该代数式的值为5

答案：
(1)$\because$方程①有两个相等的实数根,$\therefore 1+\frac{k}{2}\neq 0$且$\Delta_{1}=(k + 2)^{2}-4(1+\frac{k}{2})\times(-1)=0$,解得$k_{1}=-2$,$k_{2}=-4$.而$1+\frac{k}{2}\neq 0$,$\therefore k = - 4$,当$k = - 4$时,方程②变形为$x^{2}-7x + 5 = 0$,解得$x_{1}=\frac{7+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}=\frac{7-\sqrt{29}}{2}$.
(2)$\because \Delta_{2}=(2k + 1)^{2}+4(2k + 3)=4k^{2}+12k + 13=(2k + 3)^{2}+4\gt 0$,$\therefore$无论$k$为何值,方程②总有实数根.$\because$方程①和②中只有一个方程有实数根,$\therefore$此时方程①没有实数根.
(3)$\because a$是方程①和②的公共根,$\therefore (1+\frac{k}{2})a^{2}+(k + 2)a-1=0$③,$a^{2}+(2k + 1)a-2k-3=0$④.由$(③ - ④)\times 2$得$ka^{2}=2(k - 1)a-4k-4$⑤,由④得$a^{2}=-(2k + 1)a + 2k + 3$⑥,将⑤和⑥代入原式,得原式$=ka^{2}+4ak-2k + 3a^{2}+5a=2(k - 1)a-4k-4+4ak-2k-3(2k + 1)a + 6k + 9 + 5a=5$.