《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

11. 已知点 $ P ( m, n ) $ 在抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - x - a $ 上,当 $ m \geq - 1 $ 时,总有 $ n \leq 1 $ 成立,则 $ a $ 的取值范围是$-\frac{1}{2}\leqslant a\lt0$.

答案： $-\frac{1}{2}\leqslant a\lt0$

12. (2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙 $ A B \perp C D $ 于点 $ O $(如图),其中 $ A B $ 上的 $ E O $ 段围墙空缺.同学们测得 $ A E = 6.6 \mathrm { m } $,$ O E = 1.4 \mathrm { m } $,$ O B = 6 \mathrm { m } $,$ O C = 5 \mathrm { m } $,$ O D = 3 \mathrm { m } $.班长买来可切断的围栏 16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是____46.4$\mathrm { m } ^ { 2 } $.

答案： $46.4$

13. (2024·烟台中考)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的 $ y $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表:
| $ x $ | $ - 4 $ | $ - 3 $ | $ - 1 $ | $ 1 $ | $ 5 $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | $ 0 $ | $ 5 $ | $ 9 $ | $ 5 $ | $ - 27 $ |
下列结论:① $ a b c ＞ 0 $;②关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 9 $ 有两个相等的实数根;③当 $ - 4 ＜ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 的取值范围为 $ 0 ＜ y ＜ 5 $;④若点 $ ( m, y _ { 1 } ) $,$ ( - m - 2, y _ { 2 } ) $ 均在二次函数图象上,则 $ y _ { 1 } = y _ { 2 } $;⑤满足 $ a x ^ { 2 } + ( b + 1 ) x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ - 2 $ 或 $ x ＞ 3 $.其中正确结论的序号为____.

答案：
①②④
解析：把 $(-4,0)$，$(-1,9)$，$(1,5)$ 代入 $y = ax^{2}+bx + c$，得 $\begin{cases}16a - 4b + c = 0,\\a - b + c = 9,\\a + b + c = 5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -1,\\b = -2,\\c = 8,\end{cases}$ $\therefore abc\gt0$，故①正确；$\because a = -1$，$b = -2$，$c = 8$，$\therefore y = -x^{2}-2x + 8$，当 $y = 9$ 时，$-x^{2}-2x + 8 = 9$，$\therefore x^{2}+2x + 1 = 0$。$\because\Delta = 2^{2}-4\times1\times1 = 0$，$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 9$ 有两个相等的实数根，故②正确；$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{-3 + 1}{2}=-1$，$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-1,9)$。又 $\because a\lt0$，$\therefore$ 当 $x\lt -1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x\gt -1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 $x = -1$ 时，函数取最大值 $9$。$\because x = -3$ 与 $x = 1$ 时函数值相等，$\therefore$ 当 $-4\lt x\lt1$ 时，$y$ 的取值范围为 $0\lt y\leqslant9$，故③错误；$\because\frac{m + (-m - 2)}{2}=-1$，$\therefore$ 点 $(m,y_{1})$，$(-m - 2,y_{2})$ 关于对称轴 $x = -1$ 对称，$\therefore y_{1}=y_{2}$，故④正确；由 $ax^{2}+(b + 1)x + c\lt2$ 得 $ax^{2}+bx + c\lt -x + 2$，即 $-x^{2}-2x + 8\lt -x + 2$，画函数 $y = -x^{2}-2x + 8$ 和 $y = -x + 2$ 的图象如下：

由 $\begin{cases}y = -x + 2,\\y = -x^{2}-2x + 8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_{1}=2,\\y_{1}=0,\end{cases}$ $\begin{cases}x_{2}=-3,\\y_{2}=5,\end{cases}$ $\therefore A(2,0)$，$B(-3,5)$，由图形可得，当 $x\lt -3$ 或 $x\gt2$ 时，$-x^{2}-2x + 8\lt -x + 2$，即 $ax^{2}+(b + 1)x + c\lt2$，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④。

14. (乐山中考)我们用符号 $ [ x ] $ 表示不大于 $ x $ 的最大整数.例如:$ [ 1.5 ] = 1 $,$ [ - 1.5 ] = - 2 $.
(1)当 $ - 1 ＜ [ x ] \leq 2 $ 时,$ x $ 的取值范围是$0\leqslant x\lt3$;
(2)当 $ - 1 \leq x ＜ 2 $ 时,函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 a [ x ] + 3 $ 的图象始终在函数 $ y = [ x ] + 3 $ 的图象上方或图象上,则实数 $ a $ 的取值范围是$-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant0$.

答案：
(1) $0\leqslant x\lt3$
(2) $-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant0$
解析：由题意，当 $-1\leqslant x\lt2$ 时，函数 $y = x^{2}-2a[x]+3$ 的图象始终在函数 $y = [x]+3$ 的图象上方或图象上，当 $-1\leqslant x\lt0$ 时，即当 $[x]=-1$ 时，函数分别为 $y_{1}=x^{2}+2a + 3$，$y_{2}=2$，由题意，$2a + 3\geqslant2$，$\therefore a\geqslant-\frac{1}{2}$；当 $0\leqslant x\lt1$ 时，即当 $[x]=0$ 时，$y_{1}=x^{2}-2a[x]+3 = x^{2}+3$，而 $y_{2}=[x]+3 = 3$，$y_{1}\geqslant y_{2}$，此时 $y_{1}$ 的图象在 $y_{2}$ 的图象上方或图象上。当 $1\leqslant x\lt2$ 时，即当 $[x]=1$ 时，$y_{1}=x^{2}-2a + 3$，$y_{2}=4$，由题意，$1 - 2a + 3\geqslant4$，解得 $a\leqslant0$。综上所述，当 $-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant0$ 时，函数 $y = x^{2}-2a[x]+3$ 的图象始终在函数 $y = [x]+3$ 的图象上方或图象上，故答案为 $-\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant0$。

15. (10分)(2024·徐州中考)如图,$ A $,$ B $ 为一次函数 $ y = - x + 5 $ 的图象与二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象的公共点,点 $ A $,$ B $ 的横坐标分别为 0,4.$ P $ 为二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象上的动点,且位于直线 $ A B $ 的下方,连接 $ P A $,$ P B $.
(1)求 $ b $,$ c $ 的值;
(2)求 $ \triangle P A B $ 面积的最大值.

答案：

(1) 当 $x = 0$ 时，$y = -x + 5 = 5$；当 $x = 4$ 时，$y = -x + 5 = 1$，则 $A(0,5)$，$B(4,1)$，则 $\begin{cases}c = 5,\\16 + 4b + c = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c = 5,\\b = -5.\end{cases}$
(2) 由
(1) 可得 $y = x^{2}-5x + 5$，设 $P(m,m^{2}-5m + 5)$，如图，作 $PE// OA$ 交 $AB$ 于点 $E$，则 $E(m,-m + 5)$，则 $PE = 4m - m^{2}$，$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}(4m - m^{2})\times(4 - 0)=-2(m - 2)^{2}+8$，当 $m = 2$ 时，$S_{\triangle ABP}$ 取得最大值，最大值为 $8$。

16. (10分)(2024·潍坊中考)某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗,计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层,其建造成本 $ P $(万元)与隔热层厚度 $ x ( \mathrm { cm } ) $ 满足函数解析式:$ P = 10 x $.预计该商场每年的能源消耗费用 $ T $(万元)与隔热层厚度 $ x ( \mathrm { cm } ) $ 满足函数解析式:$ T = 21 - \frac { ( x + 2 ) ( x + 4 ) } { 8 } $,其中 $ 0 \leq x \leq 9 $.设该商场的隔热层建造费用与未来 8 年能源消耗费用之和为 $ y $(万元).
(1)若 $ y = 148 $ 万元,求该商场建造的隔热层厚度为6$\mathrm{cm}$;
(2)已知该商场未来 8 年的相关规划费用为 $ t $(万元),且 $ t = y + x ^ { 2 } $,当 $ 172 \leq t \leq 192 $ 时,求隔热层厚度 $ x ( \mathrm { cm } ) $ 的取值范围为$3\leqslant x\leqslant8$.

答案：
(1) 由题意得 $y = P + 8T = 10x + 8\times\left[21-\frac{(x + 2)(x + 4)}{8}\right]$，整理得 $y = -x^{2}+4x + 160$，当 $y = 148$ 时，则 $-x^{2}+4x + 160 = 148$，解得 $x_{1}=6$，$x_{2}=-2$。$\because 0\leqslant x\leqslant9$，$\therefore x_{2}=-2$ 不符合题意，舍去，$\therefore$ 该商场建造的隔热层厚度为 $6\mathrm{cm}$。
(2) 由
(1) 得 $y = -x^{2}+4x + 160$，$\because t = y + x^{2}$，$\therefore t = -x^{2}+4x + 160 + x^{2}=4x + 160(172\leqslant t\leqslant192)$。$\because 4\gt0$，$\therefore t$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $t = 172$ 时，$4x + 160 = 172$，解得 $x = 3$；当 $t = 192$ 时，$4x + 160 = 192$，解得 $x = 8$，$\therefore x$ 的取值范围为 $3\leqslant x\leqslant8$。