《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的解析式是$h = 30t - 5t^{2}(0 \leq t \leq 6)$.有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6s;
②小球运动中的高度可以是30m;
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.
其中,正确结论的个数是 (C)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C

2. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高处各有一盏壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,如图所示,则大门的高为(水泥建筑厚度不计,精确到0.1米) (B)

A. 6.8米
B. 6.9米
C. 7.0米
D. 7.1米

答案： B

3. (2023·滨州中考)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3m,那么水管的设计高度应为$\frac{9}{4}m$.

答案： $\frac{9}{4}m$

4. 如图所示的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是$y = -\frac{1}{9}(x - 6)^{2} + 4$,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是$y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$.

答案： $y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$

5. 如图①为某悬索桥桥梁结构图,如图②,某一同类型悬索桥,两桥塔$AD = BC = 10m$,间距AB为32m,桥面AB水平,主索最低点为点P,点P距离桥面为2m,为了进行研究,甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系.

甲同学:以DC中点为原点,DC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系;
乙同学:以AB中点为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系;
丙同学:以点P为原点,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(1)请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系,写出此种情况下点C的坐标,并求出主索抛物线的解析式.
(2)距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四根需要更换,则四根吊索总长度为多少米?

答案：
当选择甲同学建立的平面直角坐标系时，如图①所示。
　　　　　　
(1) 设抛物线的解析式为 $y = ax^2 + c(a \neq 0)$，由题意可知，C点坐标为 $(16, 0)$，P点坐标为 $(0, -8)$，将C，P两点坐标代入得 $\begin{cases}16^2 \times a + c = 0, \\ c = -8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = \frac{1}{32}, \\ c = -8,\end{cases}$
∴ 主索抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{32}x^2 - 8$。
(2) 当 $x = 4$ 时，$y = \frac{1}{32} \times 4^2 - 8 = -\frac{15}{2}$，此时吊索的长度为 $10 - \frac{15}{2} = \frac{5}{2}(m)$，由抛物线的对称性可得，当 $x = -4$ 时，吊索的长度也为 $\frac{5}{2}m$，同理，当 $x = 8$ 时，$y = \frac{1}{32} \times 8^2 - 8 = -6$，此时吊索的长度为 $10 - 6 = 4(m)$，当 $x = -8$ 时，吊索的长度也为 $4m$。$\because \frac{5}{2} + \frac{5}{2} + 4 + 4 = 13(m)$，
∴ 四根吊索的总长度为 $13m$。
当选择乙同学建立的平面直角坐标系时，如图②所示。
　　　　　　
(1) 主索抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{32}x^2 + 2$。
(2) 四根吊索的总长度为 $13m$。
当选择丙同学建立的平面直角坐标系时，如图③所示。
　　　　　　
(1) 主索抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{32}x^2$。
(2) 四根吊索的总长度为 $13m$。
归纳总结
同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，合理建立平面直角坐标系能简化求解过程，通常以方便求解为原则。