《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 下列说法中正确的是 (D)
A. 垂直于半径的直线是圆的切线
B. 圆的切线垂直于半径
C. 经过半径的外端的直线是圆的切线
D. 圆的切线垂直于经过切点的半径

答案： D

2. (2023·重庆中考)如图,AB为$\odot O$的直径,直线CD与$\odot O$相切于点C,连接AC,若$∠ACD= 50^{\circ }$,则$∠BAC$的度数为 (B)

A. $30^{\circ }$
B. $40^{\circ }$
C. $50^{\circ }$
D. $60^{\circ }$

答案： B

3. (2023·眉山中考)如图,AB切$\odot O$于点B,连接OA交$\odot O$于点C,$BD// OA交\odot O$于点D,连接CD,若$∠OCD= 25^{\circ }$,则$∠A$的度数为 (C)

A. $25^{\circ }$
B. $35^{\circ }$
C. $40^{\circ }$
D. $45^{\circ }$

答案： C

4. 如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,将点B与下列格点分别连线,当连线与圆弧相切时,该格点的坐标是 (B)

A. $(0,3)$
B. $(5,1)$
C. $(2,3)$
D. $(6,1)$

答案： B

5. (2023·北京中考)如图,OA是$\odot O$的半径,BC是$\odot O$的弦,$OA⊥BC$于点D,AE是$\odot O$的切线,AE交OC的延长线于点E,若$∠AOC= 45^{\circ },BC= 2$,则线段AE的长为______$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

6. 如图,$△ABC是\odot O$的内接三角形,$∠A= 119^{\circ }$,BD为直径,过点C的圆的切线交BD的延长线于点P,则$∠P$的度数为______$32^{\circ}$.

答案： $32^{\circ}$
归纳总结
(1)切线的性质:①切线和圆只有一个公共点;②圆心到切线的距离等于圆的半径;③切线垂直于过切点的半径;④经过圆心并垂直于切线的直线一定经过切点;⑤经过切点垂直于切线的直线必经过圆心;⑥若两条切线平行,则连接两个切点的线段是直径.
(2)切线性质的辅助线:已知一条直线是圆的切线,常常连接圆心和切点,得到半径,半径垂直于该切线.

7. (2024·赣州期末)如图,AB是$\odot O$的直径,C是AB延长线上的一点,点F在$\odot O$上,$AD⊥CD$,CD与$\odot O$相交于点F,且点F是弧BE的中点.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$BC= 5,CF= 5\sqrt {2}$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)如图,连接$OF$,$\because OF=OA$,$\therefore ∠OAF=∠OFA$.$\because$ 点$F$为弧$BE$的中点,$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{EF}$,$\therefore ∠BAF=∠DAF$,$\therefore ∠DAF=∠OFA$,$\therefore OF// AD$.$\because AD⊥CD$,$\therefore OF⊥CD$,即$OF$为$\odot O$的切线.

(2)由
(1)得$\triangle COF$为直角三角形,设半径$OF=x$,则$OC^{2}=OF^{2}+CF^{2}$.又$BC=5$,$CF=5\sqrt{2}$,$\therefore (5+x)^{2}=x^{2}+(5\sqrt{2})^{2}$.解得$x=2.5$,$\therefore \odot O$的半径为$2.5$.
归纳总结
(1)切线的判定方法:①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
(2)切线判定的辅助线:当证明某直线是圆的切线时,若直线和圆的公共点确定,则连半径,证垂直;若直线和圆的公共点不确定,则作垂直,证半径.(详见专题)

8. (十堰中考改编)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,AD交半圆O于点E.$AE= 2DE$,对于四边形OAEC的形状,描述最准确的是 ( )

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

答案：
C
归纳总结
切割图:如图,$AB$是半圆$O$的直径,$CD$为切线,$CD⊥AD$,$OF⊥AD$,$CH⊥AB$,则可得结论:①$OC// AD$;②$AC$平分$∠BAD$,$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$,$∠DCA=∠CBA$;③$OF=CD=EG=BG=CH$,$BH=DE=CG$,$OG=EF=AF=OH$;④$AD+DE=AB$;⑤$AE+AB=2AH=2AD$.