《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

8. 如图,$\odot O$的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且$CE= DF$.求证:$\triangle OEF$是等腰三角形.

证明：连接$OC$，$OD$，则$OC = OD$，$\therefore∠OCD = ∠ODC$。在$\triangle OCE$和$\triangle ODF$中，$\begin{cases}OC = OD,\\∠OCE = ∠ODF,\\CE = DF,\end{cases}$ $\therefore\triangle OCE\cong\triangle ODF$，$\therefore OE = OF$，$\therefore\triangle OEF$是等腰三角形。

答案： 连接$OC$，$OD$，则$OC = OD$，$\therefore∠OCD = ∠ODC$。在$\triangle OCE$和$\triangle ODF$中，$\begin{cases}OC = OD,\\∠OCE = ∠ODF,\\CE = DF,\end{cases}$ $\therefore\triangle OCE\cong\triangle ODF$，$\therefore OE = OF$，$\therefore\triangle OEF$是等腰三角形。

9. (随州中考改编)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠A= 40^{\circ },∠C= 20^{\circ }$,则$∠B$的度数为 (C)

A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $60^{\circ }$
D. $80^{\circ }$

答案： C
归纳总结
连半径构等腰或全等：同圆或等圆中半径相等，因此我们常常连接半径，构造等腰三角形或全等三角形解题。

10. (2024·宁波月考)如图,在$\odot O$中,直径$MN= 20$,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OP,OM及$\odot O$上,且$∠POM= 45^{\circ }$,则$AB= $ ( )

A. 4
B. $2\sqrt {5}$
C. $2\sqrt {6}$
D. 6

答案：
B 解析：连接$OA$，如图，$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC = CD$，$∠ABC = ∠BCD = 90^{\circ}$，$\therefore∠DCO = 180^{\circ} - ∠BCD = 90^{\circ}$。$\because∠POM = 45^{\circ}$，$\therefore∠CDO = 90^{\circ} - ∠POM = 45^{\circ}$，$\therefore∠CDO = ∠POM$，$\therefore CO = CD$。$\because$直径$MN = 20$，$\therefore OA = \frac{1}{2}MN = 10$，设$AB = BC = CD = CO = x$，则$BO = BC + CO = 2x$。在$Rt\triangle ABO$中，由勾股定理得$AB^{2} + BO^{2} = OA^{2}$，即$x^{2} + (2x)^{2} = 10^{2}$，解得$x = 2\sqrt{5}$或$x = -2\sqrt{5}$（舍去），$\therefore AB = 2\sqrt{5}$。

11. 原创题 如图,点A为$\odot O$上一动点,点D为圆外一点,AD交$\odot O$于点B,OD交$\odot O$于点C,延长DO交$\odot O$于点E.
(1)若$∠AOD= 90^{\circ },AD= 8$,点B恰为AD的中点,则OD的长为____$4\sqrt{3}$.
(2)若$∠AOE= 99^{\circ },BD= OA$,则$∠ODA= $____$33^{\circ}$.

答案：
(1) $4\sqrt{3}$ 　
(2) $33^{\circ}$

12. (2024·西安期末)如图,AB为$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,若$∠AOD= 28^{\circ }$,则$∠BCD= $____.

答案：
$104^{\circ}$ 解析:如图,连接$OC$，$\because OD = OC$，$OC = OB$，$\therefore∠D = ∠OCD$，$∠B = ∠OCB$，$\therefore∠OCD = \frac{180^{\circ} - ∠DOC}{2}$，$∠OCB = \frac{180^{\circ} - ∠BOC}{2}$，$\therefore∠BCD = \frac{180^{\circ} - ∠DOC}{2} + \frac{180^{\circ} - ∠BOC}{2} = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(∠DOC + ∠BOC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}∠BOD$。$\because∠AOD = 28^{\circ}$，$AB$为$\odot O$的直径，$\therefore∠BOD = 152^{\circ}$，$\therefore∠BCD = 180^{\circ} - \frac{1}{2}∠BOD = 104^{\circ}$。

13. 如图,四边形ADFE和四边形BCDG都为正方形,且点F,D,C在半圆O的直径上,点E,A,B在半圆O的圆弧上,若小正方形的面积为$16cm^{2}$,求该半圆的半径.

答案：
如图,连接$OA$，$OB$，$OE$。$\because$四边形$ADFE$为正方形，$\therefore EF = AD$，$∠EFO = ∠ADO = 90^{\circ}$。又$\because OE = OA$，$\therefore\triangle OEF\cong\triangle OAD$，$\therefore OF = OD$。$\because$小正方形的面积为$16cm^{2}$，$\therefore DC = CB = BG = GD = 4cm$，设$OD = xcm$，则$OC = (x + 4)cm$，$AD = DF = 2xcm$。在$Rt\triangle AOD$中，$OA^{2} = OD^{2} + AD^{2} = x^{2} + (2x)^{2} = 5x^{2}$，在$Rt\triangle OBC$中，$OB^{2} = OC^{2} + BC^{2} = (x + 4)^{2} + 4^{2}$。$\because OA = OB$，$\therefore(x + 4)^{2} + 4^{2} = 5x^{2}$，整理得$x^{2} - 2x - 8 = 0$，解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = -2$（舍去），$\therefore OA = \sqrt{5}x = 4\sqrt{5}cm$，即该半圆的半径为$4\sqrt{5}cm$。

14. 教材P81练习T3拓展 改编题 人教数学课本上有这样一道练习题:“$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$.求证:A,B,C三点在同一个圆上”.下面我们进一步探究.
(1)如图①,BD,CE是$\triangle ABC$的高,M是BC的中点,求证:点B,C,D,E在同一个圆上;
(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为2,E是BC边上的动点,$BF⊥AE$交CD于点F,垂足为G,连接CG.求CG的最小值.

答案：

(1)如图①,连接$ME$，$MD$，$\because BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的高，$M$为$BC$的中点，$\therefore ME = MD = MC = MB = \frac{1}{2}BC$，$\therefore$点$B$，$C$，$D$，$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上。

(2)如图②,取$AB$的中点$O$，连接$OC$，$OG$，则$OG = \frac{1}{2}AB = OA = OB$，$\therefore$根据题意，$G$点的轨迹是以点$O$为圆心，$AO$为半径的圆弧，$\therefore OC$和$OG$的长度是一定的，因此当$O$，$G$，$C$三点在同一条直线上时，$CG$取最小值。$\because$正方形$ABCD$的边长为$2$，$∠ABC = 90^{\circ}$，$\therefore OB = 1$，$BC = 2$，$\therefore OC = \sqrt{5}$，$\therefore CG$的最小值为$OC - OG = \sqrt{5} - 1$。

归纳总结
隐圆问题:有时候，题目条件中没有直接给出圆的信息，而是将其隐藏在题目中，要通过分析和转化,发现或构造圆，我们把这类问题称为隐圆问题。根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,我们可以得知直角三角形的三个顶点在同一个圆上,进而得到共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆。