《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

8. (营口中考)如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$AC⊥BC$,$AC = 4$,$∠ADC = 30^{\circ}$,则BC的长为(A)

A. $4\sqrt{3}$
B. 8
C. $4\sqrt{2}$
D. 4

答案： A

9. (泰安中考)如图,AB是$\odot O$的直径,$∠ACD = ∠CAB$,$AD = 2$,$AC = 4$,则$\odot O$的半径为(D)

A. $2\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $\sqrt{5}$

答案： D

10. 如图,AB为$\odot O$的直径,且$AB = 10$,C为$\odot O$上一点,AC平分$∠DAB$,DA交$\odot O$于点E,$AE = 6$,$AD⊥CD$于点D,F为半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的中点,EF交AC于点G。
(1)求CD的长；
(2)求EG的长。

答案：

(1)如图,连接EB,OC交于点M,
∵AC平分∠DAB,DA交⊙O于点E,
∴∠DAC=∠BAC,
∴$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{BC}$ ,
∴OC⊥BE.
∵AB 为⊙O的直径,
∴BE⊥AD.
∵AD⊥CD于点D,
∴四边形MCDE是矩形.由条件得OM=3,OB=5,
∴CD=EM=BM=$\sqrt{OB^2 - OM^2} = 4$ .
(2)如图,过点G作GR⊥AD于点R,GS⊥BE于点S,设GR=x,
∵F为半圆弧$\overset{\frown}{AB}$ 的中点,
∴∠AEF=∠BEF=45°,
∴GR=GS.
∵$S_{\triangle AEB} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ ,
∴$\frac{1}{2} \times (6 + 8 + 10) \cdot x = 24$ ,
∴x=2,
∴EG=2√2.

11. (牡丹江中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连接BD。若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$,$∠BDC = 50^{\circ}$,则$∠ADC$的度数是(B)

A. $125^{\circ}$
B. $130^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $140^{\circ}$

答案： B

12. (福建中考)已知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,AC是$\odot O$的直径,$DE⊥AB$,垂足为E。
(1)延长DE交$\odot O$于点F,延长DC,FB交于点P,如图①。求证：$PC = PB$。
证明：∵AC是$\odot O$的直径,∴∠ABC=90°.∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴∠DEA=∠ABC,∴BC//DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°.∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.
(2)过点B作$BG⊥AD$,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图②。若$AB = \sqrt{3}$,$DH = 1$,$∠OHD = 80^{\circ}$,求$∠BDE$的大小。
解：连接OD,∵AC是$\odot O$的直径,∴∠ADC=90°.∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG//DC.∵BC//DE,∴四边形DHBC是平行四边形，∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{3}$ ,由勾股定理得AC=2,∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OD,∴∠BAC=30°,∴DH=OD.在等腰三角形DOH 中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.设DE交AC于点N,∵BC//DE,∴∠ONH=∠ACB=60°,∴∠NOH=180°−(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH−∠NOH=40°.∵OA=OD,∴∠OAD=$\frac{1}{2}$∠DOC=20°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC//DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.

答案：
(1)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,
∴BC//DF,
∴∠F=∠PBC.
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°.
∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,
∴PC=PB.
(2)连接OD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°.
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG//DC.
∵BC//DE,
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{3}$ ,由勾股定理得AC=2,
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OD,
∴∠BAC=30°,
∴DH=OD.在等腰三角形DOH 中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°.设DE交AC于点N,
∵BC//DE,
∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°−(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH−∠NOH=40°.
∵OA=OD,
∴∠OAD=$\frac{1}{2}$∠DOC=20°,
∴∠CBD=∠OAD=20°.
∵BC//DE,
∴∠BDE=∠CBD=20°.