《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

5. (黔东南州中考)如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 2 x + c $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,与 $ x $ 轴交于点 $ A $, $ B ( 3,0 ) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ A C $.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)已知点 $ D $ 是第一象限内抛物线上的一个动点,过点 $ D $ 作 $ D M \perp x $ 轴,垂足为点 $ M $, $ D M $ 交直线 $ B C $ 于点 $ N $,是否存在这样的点 $ N $,使得以 $ A $, $ C $, $ N $ 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,请求出点 $ N $ 的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)已知点 $ E $ 是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点 $ F $,使以点 $ B $, $ C $, $ E $, $ F $ 为顶点的四边形为矩形? 若存在,请直接写出点 $ F $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1) 抛物线$y = ax^2 + 2x + c$的对称轴是直线$x = 1$，与$x$轴交于点$A$，$B(3, 0)$，$\therefore A(-1, 0)$，$\therefore \begin{cases}a - 2 + c = 0 \\ 9a + 6 + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ c = 3\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
(2) $\because y = -x^2 + 2x + 3$，$\therefore C(0, 3)$，设直线$BC$的解析式为$y = kx + 3$，将点$B(3, 0)$代入得$0 = 3k + 3$，解得$k = -1$，$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = -x + 3$。设点$D$坐标为$(t, -t^2 + 2t + 3)$，则点$N(t, -t + 3)$。$\because A(-1, 0)$，$C(0, 3)$，$\therefore AC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$，$AN^2 = (t + 1)^2 + (-t + 3)^2 = 2t^2 - 4t + 10$，$CN^2 = t^2 + (3 + t - 3)^2 = 2t^2$。①当$AC = AN$时，$AC^2 = AN^2$，$\therefore 10 = 2t^2 - 4t + 10$，解得$t_1 = 2$，$t_2 = 0$（不合题意，舍去），$\therefore$点$N$的坐标为$(2, 1)$；②当$AC = CN$时，$AC^2 = CN^2$，$\therefore 10 = 2t^2$，解得$t_1 = \sqrt{5}$，$t_2 = -\sqrt{5}$（不合题意，舍去），$\therefore$点$N$的坐标为$(\sqrt{5}, 3 - \sqrt{5})$；③当$AN = CN$时，$AN^2 = CN^2$，$\therefore 2t^2 - 4t + 10 = 2t^2$，解得$t = \frac{5}{2}$，$\therefore$点$N$的坐标为$(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$。综上，存在，点$N$的坐标为$(2, 1)$或$(\sqrt{5}, 3 - \sqrt{5})$或$(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$。
(3) 存在，点$F$的坐标为$(2, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$或$(2, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$或$(4, 1)$或$(-2, 1)$。解析：设$E(1, a)$，$F(m, n)$，$\because B(3, 0)$，$C(0, 3)$，$\therefore BC = 3\sqrt{2}$。①如图①，以$BC$为对角线时，$BC^2 = CE^2 + BE^2$，$\therefore (3\sqrt{2})^2 = 1^2 + (a - 3)^2 + a^2 + (3 - 1)^2$，解得$a = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$或$a = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$，$\therefore$点$E$的坐标为$(1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$或$(1, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$。$\because B(3, 0)$，$C(0, 3)$，$\therefore m + 1 = 3 + 0$，$n + \frac{3 + \sqrt{17}}{2} = 0 + 3$或$n + \frac{3 - \sqrt{17}}{2} = 0 + 3$，$\therefore m = 2$，$n = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$或$n = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$\therefore$点$F$的坐标为$(2, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$或$(2, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$；②如图②，以$BC$为边时，$BE^2 = CE^2 + BC^2$或$CE^2 = BE^2 + BC^2$，$\therefore a^2 + (3 - 1)^2 = 1^2 + (a - 3)^2 + (3\sqrt{2})^2$或$1^2 + (a - 3)^2 = a^2 + (3 - 1)^2 + (3\sqrt{2})^2$，解得$a = 4$或$a = -2$，$\therefore E(1, 4)$或$(1, -2)$。$\because B(3, 0)$，$C(0, 3)$，$\therefore m + 0 = 1 + 3$，$n + 3 = 0 + 4$或$m + 3 = 1 + 0$，$n + 0 = 3 - 2$，$\therefore m = 4$，$n = 1$或$m = -2$，$n = 1$，$\therefore$点$F$的坐标为$(4, 1)$或$(-2, 1)$，综上所述，存在，点$F$的坐标为$(2, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$或$(2, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$或$(4, 1)$或$(-2, 1)$。

6. (2024·泸州中考)如图,在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 $ 经过点 $ A ( 3,0 ) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且关于直线 $ x = 1 $ 对称.
(1)求该抛物线的解析式.$y=-x^2+2x+3$
(2)当 $ - 1 \leq x \leq t $ 时, $ y $ 的取值范围是 $ 0 \leq y \leq 2 t - 1 $,求 $ t $ 的值.$\frac{5}{2}$
(3)点 $ C $ 是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点 $ C $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ A B $ 于点 $ D $,在 $ y $ 轴上是否存在点 $ E $,使得以 $ B $, $ C $, $ D $, $ E $ 为顶点的四边形是菱形? 若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.存在；边长为$3\sqrt{2}-2$或$2$

答案：
(1) $\because$抛物线$y = ax^2 + bx + 3$经过点$A(3, 0)$，与$y$轴交于点$B$，且关于直线$x = 1$对称，$\therefore \begin{cases}-\frac{b}{2a} = 1 \\ 9a + 3b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 2\end{cases}$，$\therefore y = -x^2 + 2x + 3$。
(2) $\because$抛物线的开口向下，对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$抛物线上点到对称轴的距离越远，函数值越小，$\because -1 \leq x \leq t$时，$0 \leq y \leq 2t - 1$，①当$t \leq 1$时，则当$x = t$时，函数有最大值，即$2t - 1 = -t^2 + 2t + 3$，解得$t = -2$或$t = 2$，均不符合题意，舍去；②当$t ＞ 1$时，则当$x = 1$时，函数有最大值，即$2t - 1 = -1^2 + 2 + 3 = 4$，解得$t = \frac{5}{2}$。故$t = \frac{5}{2}$。
(3) 存在；当$y = -x^2 + 2x + 3 = 0$时，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，当$x = 0$时，$y = 3$，$\therefore A(3, 0)$，$B(0, 3)$，设直线$AB$的解析式为$y = kx + 3$，把$A(3, 0)$代入，得$k = -1$，$\therefore y = -x + 3$，设$C(m, -m^2 + 2m + 3)(0 ＜ m ＜ 3)$，则$D(m, -m + 3)$，$\therefore CD = -m^2 + 2m + 3 + m - 3 = -m^2 + 3m$，$BD = \sqrt{m^2 + (-m + 3 - 3)^2} = \sqrt{2}m$，$BC^2 = m^2 + (-m^2 + 2m)^2$，当$B$，$C$，$D$，$E$为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当$BD$为边时，则$BD = CD$，即$-m^2 + 3m = \sqrt{2}m$，解得$m = 0$（舍去）或$m = 3 - \sqrt{2}$，此时菱形的边长为$\sqrt{2}m = 3\sqrt{2} - 2$；②当$BD$为对角线时，则$BC = CD$，即$m^2 + (-m^2 + 2m)^2 = (-m^2 + 3m)^2$，解得$m = 2$或$m = 0$（舍去），此时菱形的边长为$-2^2 + 3×2 = 2$。综上，存在以$B$，$C$，$D$，$E$为顶点的四边形是菱形，边长为$3\sqrt{2} - 2$或$2$。