《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

8. 下表是代数式 $ax^{2}+bx$ 的值的情况, 根据表格数据, 可知方程 $ax^{2}+bx= 6$ 的根是 (C)

A. $x_{1}= 0,x_{2}= 1$
B. $x_{1}= -1,x_{2}= 2$
C. $x_{1}= -2,x_{2}= 3$
D. $x_{1}= -3,x_{2}= 4$

答案： C

9. 原创题 若关于 x 的一元二次方程 $x^{|k-1|}+(k^{2}-1)x+1= 8x-k$ 没有一次项, 则 k 的值为(D)
A. ±1
B. ±3
C. -1
D. 3

答案： D

10. 若 $x_{0}$ 是方程 $ax^{2}+2x+c= 0(a≠0)$ 的一个根, 设 $M= 2-ac,N= (ax_{0}+1)^{2}$, 则 M 与 N 的大小关系为 (A)
A. $M＞N$
B. $M= N$
C. $M= 2N$
D. $M＜N$

答案： A

11. 原创题 一元二次方程 $a(x-1)^{2}+b(x-1)+c= 0$ 化为一般形式后为 $3x^{2}-2x+8= 0$, 则一次函数 $y= \frac{a}{b}x+c$ 的图象不经过 (D)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D 解析:方程$ a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0 $整理得$ ax^{2}-(2a - b)x+(a + c - b)=0 $,由题意得$ \begin{cases} a = 3, \\ 2a - b = 2, \\ a + c - b = 8, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 3, \\ b = 4, \\ c = 9, \end{cases} $一次函数$ y = \frac{3}{4}x + 9 $的图象经过第一、二、三象限.

12. 改编题 定义: 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$ 满足 $a+b+c= 0$, 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.
(1) “凤凰”方程必定有一个根是$x=1$;
(2) 若 $ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$ 是“凤凰”方程, 且有一个解为 $x= -1$, 则下列结论: ① $a= c$; ② $a= b$; ③ $a= -c$; ④ $a= b= c$; ⑤ $b= 1$; ⑥ $b= 0$; ⑦ $c= 0$. 正确的是③⑥(填序号).

答案：
(1)$ x = 1 $
(2)③⑥
知识拓展
若$ x = 1 $是方程$ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $的一个根,则另一个根是$ x = \frac{c}{a} $.

13. 改编题 (1) 若关于 m 的一元二次方程 $\sqrt{7}nm^{2}= mn^{2}+2$ 的一个根为 2, 则 $n^{2}+\frac{1}{n^{2}}-1=$25.
(2) 已知 k 是方程 $x^{2}-101x+1= 0$ 的一个根, 则 $k^{2}-100k+\frac{101}{k^{2}+1}=$100.

答案：
(1)25
(2)100
归纳总结
一元二次方程$ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $根的代数式化简求值问题,常常需要对方程进行变形,常见的变形方法有:①$ ax^{2}=-bx - c $;②$ ax^{2}+bx=-c $;③$ ax^{2}+c=-bx $;④$ ax^{3}=-bx^{2}-cx $;⑤$ ax+\frac{c}{x}=-b $.其中①②③④体现了“降次”代换的思想,⑤是构造倒数关系作等值代换.

14. 关于 x 的两个不同的方程 $x^{2}+mx-4= 0,x^{2}+3x-(m+1)= 0$ 有且只有一个公共根, 则 m 的值是-3.

答案： -3

15. 若 $x^{2a+b}+3x^{a+b}+4= 0$ 是关于 x 的一元二次方程, 则 a,b 的值分别为$\begin{cases} a = 1, \\ b = 0 \end{cases} $或$\begin{cases} a = 2, \\ b = -2 \end{cases} $或$\begin{cases} a = -1, \\ b = 3 \end{cases} $或$\begin{cases} a = -2, \\ b = 4 \end{cases} $或$\begin{cases} a = 0, \\ b = 2 \end{cases} $.

答案： $ \begin{cases} a = 1, \\ b = 0 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 2, \\ b = -2 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = -1, \\ b = 3 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = -2, \\ b = 4 \end{cases} $或$ \begin{cases} a = 0, \\ b = 2 \end{cases} $
解析:根据题意,分情况讨论:
①$ x^{2a + b} $为二次项,$ 3x^{a + b} $为一次项时,可得$ \begin{cases} 2a + b = 2, \\ a + b = 1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 1, \\ b = 0; \end{cases} $②$ x^{2a + b} $为二次项,$ 3x^{a + b} $为常数项时,可得$ \begin{cases} 2a + b = 2, \\ a + b = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = -2; \end{cases} $③$ 3x^{a + b} $为二次项,$ x^{2a + b} $为一次项时,可得$ \begin{cases} a + b = 2, \\ 2a + b = 1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = -1, \\ b = 3; \end{cases} $④$ 3x^{a + b} $为二次项,$ x^{2a + b} $为常数项时,可得$ \begin{cases} a + b = 2, \\ 2a + b = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = -2, \\ b = 4; \end{cases} $⑤$ x^{2a + b} $和$ 3x^{a + b} $都为二次项时,可得$ \begin{cases} 2a + b = 2, \\ a + b = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 0, \\ b = 2. \end{cases} $

16. 改编题 请阅读下列材料:
问题: 已知方程 $x^{2}+x-1= 0$, 求一个一元二次方程, 使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解: 设所求方程的根为 y, 则 $y= 2x$, 所以 $x= \frac{y}{2}$. 把 $x= \frac{y}{2}$ 代入已知方程, 得 $(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0$, 化简, 得 $y^{2}+2y-4= 0$, 故所求方程为 $y^{2}+2y-4= 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法, 我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的方法, 解答下列问题 (要求: 把所求方程化为一般形式):
(1) 已知方程 $2x^{2}-x-5= 0$, 求一个关于 y 的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程根的相反数, 则所求方程为____$2y^{2}+y - 5 = 0$;
(2) 已知方程 $ax^{2}+bx-3= 0$ 的两个根分别是 1 和 -3, 则另一个方程 $a(2x+3)^{2}+2bx= 3(1-b)$ 的两个根是____-1 和-3;
(3) 已知关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}-bx+c= 0(a≠0)$ 有两个不等于零的实数根, 求一个一元二次方程, 使它的根分别是已知方程根的倒数;
设所求方程的根为 y,则$ y = \frac{1}{x}(x \neq 0) $,所以$ x = \frac{1}{y}(y \neq 0) $.把$ x = \frac{1}{y} $代入方程$ ax^{2}-bx + c = 0 $,得$ a(\frac{1}{y})^{2}-b \cdot \frac{1}{y}+c = 0 $,去分母,得$ a - by + cy^{2}=0 $.若$ c = 0 $,有$ ax^{2}-bx = 0 $,可知有一个解为$ x = 0 $,不符合题意,$ \therefore c \neq 0 $,故所求方程为$ cy^{2}-by + a = 0(c \neq 0,a \neq 0) $.'
(4) 关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx= c(ac≠0)$ 有一个实数根为 2 024, 则方程 $cx^{2}+bx= a$ 一定有实数根____$-\frac{1}{2024}$.

答案：
(1)$ 2y^{2}+y - 5 = 0 $
(2)-1 和-3
(3)设所求方程的根为 y,则$ y = \frac{1}{x}(x \neq 0) $,所以$ x = \frac{1}{y}(y \neq 0) $.把$ x = \frac{1}{y} $代入方程$ ax^{2}-bx + c = 0 $,得$ a(\frac{1}{y})^{2}-b \cdot \frac{1}{y}+c = 0 $,去分母,得$ a - by + cy^{2}=0 $.若$ c = 0 $,有$ ax^{2}-bx = 0 $,可知有一个解为$ x = 0 $,不符合题意,$ \therefore c \neq 0 $,故所求方程为$ cy^{2}-by + a = 0(c \neq 0,a \neq 0) $.
(4)$ -\frac{1}{2024} $ 解析:$ \because $将$ x = 2024 $代入$ ax^{2}+bx = c $得$ a \cdot 2024^{2}+2024b = c $,两边同时除以$ (-2024)^{2} $,得$ a+\frac{1}{2024}b = (-\frac{1}{2024})^{2}c $,即$ (-\frac{1}{2024})^{2}c + (-\frac{1}{2024})b = a $,$ \therefore cx^{2}+bx = a $一定有实数根$ -\frac{1}{2024} $.