《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 如图,半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b,然后把半圆沿直线 b 进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线 b 重合为止,则圆心 O 运动路径的长度等于(A)

A. $5\pi$
B. $2.5\pi$
C. $5 + 2.5\pi$
D. 10

答案： A

2. (2025·西安期末)如图,用一个半径为 3 cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 $90^{\circ}$,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了$\frac{3\pi}{2}$cm.(结果保留 $\pi$)

答案： $\frac{3\pi}{2}$

3. (2024·南京模拟)在活动课上,“雄鹰组”用含 $30^{\circ}$角的直角三角尺设计风车,如图,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$AC = 2$,将直角三角尺绕点 A 逆时针旋转得到 $\triangle AB'C'$,使点 $C'$落在 AB 边上,以此方法做下去……则点 B 通过一次旋转至点 $B'$所经过的路径长为$\frac{4\pi}{3}$.(结果保留 $\pi$)

答案： $\frac{4\pi}{3}$

4. (2025·南昌期末)如图,直角三角板放置在平面直角坐标系上,$\angle BAO = 30^{\circ}$,将三角板绕点 $A(\sqrt{3},0)$顺时针旋转到如图位置,则点 B 旋转过程弧长为______$\frac{5\pi}{3}$.(结果保留 $\pi$)

答案： $\frac{5\pi}{3}$

5. 如图,在扇形 OAB 中,$\angle AOB = 60^{\circ}$,扇形半径为 r,点 C 在 $\overset{\frown}{AB}$上,$CD \perp OA$,垂足为点 D,当 $\triangle OCD$的面积最大时,$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{1}{4}\pi r$.

答案： $\frac{1}{4}\pi r$

6. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为 10 cm 的圆盘,如图所示,AB 与 CD 是平行的,且水平,BC 与水平面的夹角为 $60^{\circ}$,其中 $AB = 60$ cm,$BC = 40$ cm,$CD = 40$ cm,请你作出该小朋友将圆盘从点 A 滚动到点 D 其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度.

答案：
如图所示是圆盘滚动过程中，其圆心所经过的路线的示意图。

由图知圆盘滚动过程中，其圆心经过的路线由线段 $OO_1$，线段 $O_1O_2$，$\overset{\frown}{O_2O_3}$，线段 $O_3O_4$ 四部分构成。其中 $O_1E\perp AB$，$O_1F\perp BC$，$O_2C\perp BC$，$O_3C\perp CD$，$O_4D\perp CD$。$\because BC$ 与 $AB$ 延长线的夹角为 $60^{\circ}$，$O_1$ 是圆盘在 $AB$ 上滚动到与 $BC$ 相切时的圆心位置，$\therefore$ 此时 $\odot O_1$ 与 $AB$ 和 $BC$ 都相切，则 $\angle O_1BE = \angle O_1BF = 60^{\circ}$。此时 $Rt\triangle O_1BE\cong Rt\triangle O_1BF$，在 $Rt\triangle O_1BE$ 中，$BE = \frac{10\sqrt{3}}{3}cm$，$\therefore OO_1 = AE = AB - BE = (60 - \frac{10\sqrt{3}}{3})cm$。$\because BF = BE = \frac{10\sqrt{3}}{3}cm$，$\therefore O_1O_2 = CF = BC - BF = (40 - \frac{10\sqrt{3}}{3})cm$。$\because AB// CD$，$BC$ 与水平面的夹角为 $60^{\circ}$，$\therefore \angle BCD = 120^{\circ}$。又 $\angle O_2CB = \angle O_3CD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle O_2CO_3 = 60^{\circ}$。则圆盘在点 $C$ 处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为 $60^{\circ}$ 且半径为 $10cm$ 的圆弧 $\overset{\frown}{O_2O_3}$，$\therefore \overset{\frown}{O_2O_3}$ 的长为 $\frac{60\times \pi\times 10}{180} = \frac{10}{3}\pi(cm)$。$\because$ 四边形 $O_3O_4DC$ 是矩形，$\therefore O_3O_4 = CD = 40cm$。综上所述，圆盘从点 $A$ 滚动到点 $D$ 其圆心所经过的路线的长度是 $(60 - \frac{10\sqrt{3}}{3}) + (40 - \frac{10\sqrt{3}}{3}) + \frac{10}{3}\pi + 40 = (140 - \frac{20\sqrt{3}}{3} + \frac{10}{3}\pi)cm$。