《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. 已知一元二次方程的两根分别是3和-5,则这个一元二次方程是 (B)
A. $x^{2}-2x+15= 0$
B. $x^{2}+2x-15= 0$
C. $x^{2}-x-6= 0$
D. $x^{2}-2x-15= 0$

答案： B

2. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 (B)
A. $x^{2}+6x+5= 0$
B. $x^{2}-7x+10= 0$
C. $x^{2}-5x+2= 0$
D. $x^{2}-6x-10= 0$

答案： B

3. (2024·日照中考)已知,实数$x_{1},x_{2}(x_{1}≠x_{2})$是关于x的方程$kx^{2}+2kx+1= 0(k≠0)$的两个根,若$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}= 2$,则k的值为 (B)
A. 1
B. -1
C. $\frac {1}{2}$
D. $-\frac {1}{2}$

答案： B

4. (1)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-2m= 0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,若$x_{1}x_{2}= -2$,则$x_{1}+x_{2}=$-1.
(2)(2024·巴中中考)已知方程$x^{2}-2x+k= 0$的一个根为-2,则方程的另一个根为4.

答案：
(1) -1
(2) 4
归纳总结
对于含一个字母系数的一元二次方程，已知一个根求另一个根有两种方法：①根据根与系数的关系求解；②把已知根代入原方程求出未知字母的值，再解方程。

5. (巴中中考)对于任意实数a,b,定义:$a◆b= a^{2}+ab+b^{2}$.若方程$(x◆2)-5= 0$的两根记为m,n,则$m^{2}+n^{2}=$6.

答案： 6

6. 方程$x^{2}-3x+6= 0与方程2x^{2}-6x+3= 0$所有实数根的和等于3.

答案： 3

7. 原创题 已知实数a,b,c满足$\sqrt {a-2}+(b-4)^{2}+|c+1|= 0$,关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,不解方程求下列各式的值:
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$5;
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}=$6;
(3)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=$4;
(4)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=$$\frac{15}{2}$;
(5)$x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=$$-\frac{5}{2}$.

答案：
∵ $\sqrt{a - 2} + (b - 4)^2 + |c + 1| = 0$，
∴ $a = 2$，$b = 4$，$c = -1$，
∴ 方程为 $2x^2 + 4x - 1 = 0$，
∴ $x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = 5$。
(2) $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-2)^2 - 4×(-\frac{1}{2}) = 6$。
(3) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-2}{-\frac{1}{2}} = 4$。
(4) $(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = -\frac{1}{2} - 2×(-2) + 4 = \frac{15}{2}$。
(5) $x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = -\frac{1}{2}×5 = -\frac{5}{2}$。
归纳总结
常用变形方法：
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$；
(2) $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$；
(3) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$；
(4) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$；
(5) $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$。

8. (2024·青岛月考)已知关于x的方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x-4a= 0$的两个实数根互为相反数,则a的值为 (C)
A. 5或-2
B. 0
C. 5
D. -2

答案： C

9. (2024·淄博期中)已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-x-2024= 0$的两个实数根,则代数式$x_{1}^{3}-2024x_{1}+x_{2}^{2}$的值为 (A)
A. 4049
B. 4048
C. 2024
D. 1

答案： A
归纳总结
当所求代数式为非对称式时，一般将代数式分离成两部分：一部分（常为高次项）利用根的意义将根代入原方程，整理得到一个与所求相关的结构式；另一部分利用根与系数的关系代入求解。

10. 一题多解 (南充中考)已知方程$x^{2}-2021x+1= 0的两根分别为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}-\frac {2021}{x_{2}}$的值为 (B)
A. 1
B. -1
C. 2021
D. -2021

答案： B 解析：解法一：
∵ $x^2 - 2021x + 1 = 0$的两根分别为 $x_1$，$x_2$，
∴ $x_1 + x_2 = 2021$，$x_1^2 - 2021x_1 + 1 = 0$，$x_2^2 - 2021x_2 + 1 = 0$。
∵ $x_2 ≠ 0$，
∴ $x_2 - 2021 + \frac{1}{x_2} = 0$，
∴ $-\frac{1}{x_2} = x_2 - 2021$，
∴ $x_1^2 - \frac{2021}{x_2} = 2021x_1 - 1 + 2021x_2 - 2021^2 = 2021(x_1 + x_2) - 1 - 2021^2 = -1$。
解法二：
∵ $x^2 - 2021x + 1 = 0$的两根分别为 $x_1$，$x_2$，
∴ $x_1·x_2 = 1$，$x_1^2 - 2021x_1 + 1 = 0$，
∴ $x_1^2 - 2021x_1 = -1$，
∴ $x_1 ≠ 0$，
∴ $x_1^2 - \frac{2021}{x_2} = x_1^2 - \frac{2021x_1}{x_1·x_2} = x_1^2 - 2021x_1 = -1$。

11. (1)(烟台中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m-1= 0的实数根x_{1},x_{2}满足3x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}＞2$,则m的取值范围是____3＜m≤5.
(2)(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}= 2$,则实数$m=$____3.

答案：
(1) $3 ＜ m ≤ 5$ 解析：由题意得 $x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m - 1$，
∴ $\Delta = (-4)^2 - 4(m - 1) ≥ 0$且 $3×(m - 1) - 4 ＞ 2$，解得 $3 ＜ m ≤ 5$。
(2) 3 解析：由题意得 $\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0$，
∴ $m ＞ 2$。
∵ $x_1$，$x_2$是 $x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$的两个实数根，
∴ $x_1 + x_2 = -2m$，$x_1·x_2 = m^2 - m + 2$。
∵ $x_1 + x_2 + x_1·x_2 = 2$，
∴ $-2m + m^2 - m + 2 = 2$，解得 $m_1 = 0$（舍去），$m_2 = 3$，
∴ 实数 $m$的值为 3。